在抽象代数中，主理想整环（英語：principal ideal domain，简称PID）是其中所有理想都是主理想（由一个元素生成的理想）的整环。一个更广泛的概念是主理想环，它指的是其中所有理想都是主理想的非零交换环，但一些作者（如布尔巴基）把主理想整环称为主理想环。主理想整环和主理想环的区别在于主理想环可以有零因子，而主理想整环不可以。...

在數學中，主理想環是使得每個理想均可由單個元素生成的環。 如果一個主理想環同時也是整環，則稱之主理想整環（常簡寫為 PID）。 整數環 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 是主理想域，更一般地說，歐幾里德環恆為主理想環。 域上的（单变元）多項式環是主理想環。 高斯整數環 Z [...

整环中，不可約元必為素元。 任意有限個元素有最大公因數與最小公倍數，它們在至多差一個可逆元的意義下唯一。 一個諾特整環是唯一分解整环若且唯若每個高度為一的素理想都是主理想（即：由單個元素生成）。 一個整環是唯一分解整环若且唯若升鏈條件對主理想成立，而且任兩個元素有最小公倍數。 一個整環是唯一分解整环若且唯若其類群為平凡群。...

在抽象代數中，歐幾里得整環（Euclidean domain）是一種能作輾轉相除法的整環。凡歐幾里得整環必為主理想環。 一個歐幾里得整环是一整環 D {\displaystyle D} 及函數 v : D ∖ { 0 } → N ∪ { 0 } {\displaystyle v:D\setminus...

整环（Integral domain），又譯作整域，是抽象代數中的一个概念，指含乘法单位元的无零因子的交换环。一般假设环中乘法单位元1不等于加法单位元0，以除去平凡的环 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 。整环是整数环的抽象化，它很好地继承了整数环的整除性质，使得我们能够更好地研究整除理论。...

理想（Ideal）是一个环论中的概念。 若某环的子集为在原环加法的定义下的子群，且其中的元素在原环乘法下与任意原环中的元素结果都在该子群中，则称其为原环的理想。 通俗地说，一环的理想在加法上成群且在乘法上表现如同一个黑洞。 理想把整数的某些子集，例如偶数或3的倍数组成的集合给一般化了。两个偶数相加或...

理想内，即M本身和整个环R。每一个极大理想实际上是素理想；在主理想整环中，每一个非零的素理想都是极大的，但这一般不成立。 如果M是光滑流形，R是M上的光滑函数环，而x是M中的一个点，那么所有满足f(x) = 0的光滑函数f形成了R内的一个素理想（甚至是极大理想）。 交换环R中的理想I是素理想，当且仅当商环R/I是整环。...

在抽象代数之分支环论中，一个交换环（commutative ring）是乘法运算满足交换律的环。对交换环的研究称为交换代数学。 某些特定的交换环在下列类包含链中： 交换环 ⊃ 整环 ⊃ 惟一分解整环 ⊃ 主理想整环 ⊃ 欧几里得整环 ⊃ 域 一个带有两个二元运算的集合 R 是环，即将环...

在数学中，特别是交换代数中，分式理想的概念是在对整环的研究中所引入的，并且在戴德金整环的研究中得到丰富。类似于通过给整数引入分母而产生了分数，在整环中，分式理想可认为是为理想引入了在某种意义上[來源請求]的分母。在特定上下文中，为了有所区别，环的普通理想常被强调为整理想。 设 R {\displaystyle R} 是一个整环，...

GCD環是一種有特殊性質的整环R，滿足其中任二個非零的元素都有最大公因數（GCD），或者等價的，都有最小公倍數（LCM）。 GCD環是將唯一分解整環推廣到非諾特環的情況，事實上，一個整環是唯一分解整環若且惟若其為滿足主理想升链条件（英语：ascending chain condition on principal...

在数论中，理想数是在某个数域的整数环中表示一个理想的代数数。理想数的概念由恩斯特·库默尔首先引进，并导致理查德·戴德金发展出环的理想的概念。一个整环中的理想被称作主理想当且仅当它是由某个元素的所有倍数组成。 根据主理想化定理，一个代数数域中的整环中的所有非主理想的理想...