ξx的映射方式嵌入到新的完备度量空间M' 中。易于验证，M等距同构于M' 的稠密子空间。 康托法构造实数是该完备化方法的一个特例：实数域是有理数域作为以通常的差的绝对值为距离的度量空间的完备化空间。 康托爾的實數建構是上述構造的特例；此時實數集可表為有理數集對絕對值的完備化。倘若在有理數集上另取其它的絕對值，得到的完備空間則為p進數。...

一般而言，豪斯多夫距離 dH(S,T) 可以是無限大的。兩個集合的在豪斯多夫距離上會互相靠近，若其中一個集合的每個元素會靠近另一集合的某個元素。 豪斯多夫距離 dH 會將由所有 M 內非空緊緻子集所組成之集合 K(M) 轉換成一個度量空間。可證明若 M 是完備的，則 K(M) 亦是完備的。（緊緻子集的收斂性亦可由庫拉托夫斯基收斂給出。）...

在数学裡，希尔伯特空间（英語：Hilbert space）即完备的内积空间，也就是一個帶有內積的完備向量空間。內積的構造推廣了欧几里得空间的距离和角的概念；完備則確保了其上所有的柯西序列會收敛到此空間裡的一點，从而微积分中的許多概念都可以推广到希尔伯特空间中。 希尔伯特空间...

n {\displaystyle \mathbb {E} ^{n}} 具有這些空間結構：內積空間、希爾伯特空間、賦範向量空間以及度量空間。 因为欧氏空间是一个度量空间，因此也是一个具有由度量推导出的自然拓扑的拓扑空间。 E n {\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}...

空间都是一个拓扑空间，其拓扑结构由它的半范数诱导。 在赋范向量空间中，完备的赋范向量空间特别重要，称为巴拿赫空间。每个赋范向量空间都是一个巴拿赫空间的稠密子空间，这个巴拿赫空间由此赋范向量空间唯一确定，称为它的完备空间。 在拓扑的角度来说，有限维的向量空间...

在拓扑学這個數學領域裡，一致空间（uniform space）是指带有一致结构的集合。一致空间是一個拓撲空間，有可以用来定义如完备性、一致连续及一致收敛等一致性質的附加结构。 一致结构和拓扑结构之间的概念区别在於，一致空间可以形式化有关于相对邻近性及点间临近性等特定概念。换句话说，「x 邻近于a 胜过y...

内积空间（英語：Inner product space）是增添了某種運算的向量空间，這種運算叫做内积，它推廣了原來欧几里德空间的點積，而從比較一般的角度看待向量的“夹角”、“长度”還有正交性。 内积空间有时也叫做准希尔伯特空间（pre-Hilbert space），因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。...

向量空间（或稱線性空間） 赋范向量空间（或稱線性賦范空間） 拓扑向量空间 内积空间 度量空间 测度空间 完備度量空间 欧几里得空间 希尔伯特空间 射影空间 函数空间 樣本空间 概率空间 代数空间 贝尔空间 伯格曼空间 伯克维奇空间 贝索夫空间 卡拉比–丘空间 康托尔空间 柯西空间 丘空间 闭包空间 共形空间 艾伦伯格–麦克莱恩空间...

_{a}^{b}\|\gamma '(t)\|\;dt} （注意：γ'（t）是切空間M在γ（t）點的元素；||·||是切空間的內積所得出的範數。） 使用这个长度的定义，每个连通的黎曼流形M很自然的成为一个度量空間（甚至是長度度量空間）：在x與y兩點之間的距離d（x, y）定義為： d(x,y) = inf{ L(γ) :...

任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数；只有非负实数才能开偶次方，其结果还是实数。 作为度量空間或一致空間，實數集合是一个完备空间，它有以下性质： 所有實數的柯西序列都有一個實數極限。 有理數集合就不是完备空间。例如， ( 1 , 1.4 , 1.41 , 1.414 , 1.4142 , 1.41421...

。較複雜的例子則有資訊距離與歸一化壓縮距離。 有許多放寬度量公理的方法，能給出較度量空間更為廣義的不同概念。用來描述這些推廣的詞彙並沒有統一，例如在泛函分析裡的偽度量通常可由向量空間上的半範數導出，因此會很自然地稱之為「半度量」。在拓撲學裡，名詞使用間的相互衝充時常出現。 一些作者允許距離函數 d...