这里 dx、dy 与 dz 是 R3 上的标准正交微分1-形式。霍奇对偶在此情形显然对应于三维中的叉积。 当 n = 4 时，霍奇对偶作用在第二外幂（6 维）上是自同态。它是一个对合，从而可以分解为子对偶与反自对偶子空间，在这两个子空间上的作用分别为 +1 和 -1。 另一个有用的例子是 n =...

偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。 微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。 泛函分析的主要定理包括： 一致有界定理（亦称共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。...

一个仿射代数簇的一点对应于坐标环上的一个极大理想，仿射概形上的子簇则对应于坐标环的素理想。而在概型论中，概型的点集包含了经典情况代数簇的点集，以及所有子簇的信息。这种方法使得经典代数几何（主要涉及闭点）同时联系起了微分几何、数论等主流分支的问题研究。 在古典代数几何中，主要的研究对象是一组多项式的公...

，或者，它们如何被安排来涵盖一个更大的对象。 离散几何与凸几何和计算几何有很大的重叠部分，与下列学科密切相关，如有限几何，组合优化，数字几何， 离散微分几何，几何图论，复曲面几何和组合拓扑。 尽管多面体和分割已经被像开普勒和柯西这样的大数学家等人研究了多年，现代离散几何却源于19世纪后期。早期的研究主题是：阿克塞尔·图厄研究的半群问题...

{\displaystyle {\mathcal {T}}} 和它所作用的空间的性质，有时将特征值方程表示为一组微分方程更好。若 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 是一个微分算子，其特征向量通常称为该微分算子的特征函数。例如，微分本身是一个线性变换因为（若M和N是可微函数，而a和b是常数）...

这个定义需要一些说明： 这个定义模仿了广义微分几何中流形的定义，即每个点上都与 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 存在局部微分同胚的微分空间。 轨形首先是微分空间，具备广义微分几何的集合。然后，广义微分几何在检验中，于每点都局部微分同胚于商 R n / G {\displaystyle...

δ），但也用作冰島文小寫的 eth（U+00F0, ð）和偏微分符號（U+2202, ∂）的替代品。 237（EDhex）應當用作希臘文小寫的phi，但現在主要用作空集符號（U+2205, ∅ {\displaystyle \varnothing } ），還用作用來表示角度的斜體希臘文phi符號（U+03D5,...

萊布尼茨與牛頓誰先發明微積分的爭論是數學界至今最大的公案。萊布尼茨於1684年發表第一篇微分論文，定義了微分概念，採用了微分符號 d y {\displaystyle dy} 或 d x {\displaystyle dx} 等。1686年他又发表了積分论文，讨论了微分与积分，使用了積分符号 ∫ {\displaystyle \int...

通过自守形式和朗蘭茲綱領对数论产生了影响。 另一方面，研究表示论的途径也相当多元化，应用了代数几何、模块理论（英语：Module theory）、解析数论、微分几何、算子理论、代数组合学和拓扑学的思想和方法 「表示」的概念後來也得到進一步的推廣，例如範疇的表示。表示论所施的代数对象可被视为特定的范畴，而表示...

Snyder空间 叶状结构产生的非交换代数。 与数论中的动力系统有关的例子，如高斯连分数，产生了似乎具有有趣的非交换几何的非交换代数。 孔涅联络是微分几何中联络的非交换推广，由阿兰·孔涅提出，后来被Joachim Cuntz和丹尼尔·奎伦推广。 给定右A模E，E上的孔涅联络是线性映射 ∇ : E →...

微分（误差曲面的斜率可以通过对平方误差函数在该点求导数计算出来）。他在两次测量之间前行的距离（与测量频率成正比）是算法的学习速率。参见限制一节中对此类型“爬山”算法的限制的讨论。 结果可能会收敛到极值。如果只有一个极小值，梯度下降的“爬山”策略一定可以起作用...