行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，其定义也被推广到诸如线性自同态和向量组等结构上。 行列式的特性可以被概括为一个交替多线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。...

斯莱特行列式是多电子体系波函数的一种表达方式，他以量子物理学家斯莱特的名字命名。这种形式的波函数可以满足对多电子波函数的反对称要求（即所谓泡利原理）：交换体系中任意两个电子，则波函数的符号将会反转。在量子化学中，所有基于分子轨道理论的计算方法都用斯莱特行列式的形式来表示多电子体系的波函数。 斯莱特行列式...

在数学中，朗斯基行列式（Wronskian）名自波兰数学家約瑟夫·瑪麗亞·何內-朗斯基，是用于计算微分方程的解空间的函数。 对于给定的 n 个n-1 次连续可微函数，f1、...、fn，它们的朗斯基行列式 W(f1, ..., fn) 为： W ( f 1 , … , f n ) = | f 1 f...

matrix）是函數的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。 當其為方形矩阵時，其行列式称为雅可比行列式（Jacobi determinant）。要注意的是，在英文中雅可比矩陣跟雅可比行列式都可稱作Jacobian。 其重要性在於，如果函數  f : ℝn → ℝm 在點 x 可微的話，在點...

在線性代數中，餘因子是一種關於方陣之逆及其行列式的建構，餘因子矩陣的項是帶適當符號的子行列式。 對一個 n × n {\displaystyle n\times n} 矩陣 A {\displaystyle A} ，在 ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} 的子行列式（余子式） M i j {\displaystyle...

G_{ij}=\langle v_{i},v_{j}\rangle } 给出。 一个重要的应用是计算線性獨立：一組向量彼此線性獨立当且仅当格拉姆行列式（格拉姆矩阵的行列式）不等于零。 格拉姆矩阵以丹麦数学家约尔根·佩尔森·格拉姆（英语：Jørgen Pedersen Gram）命名。 最常见地，向量是欧几里得空间中元素，或...

j}=\alpha _{i}^{j-1}} （部分作者將上述矩陣寫成轉置後的形式，也就是一整排的 1 不列在左邊，而是列在上面。） n階范德蒙矩陣為方塊矩陣，其行列式可以表示為： det ( V ) = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( α j − α i ) {\displaystyle \det(V)=\prod...

李代数的指数映射的像总是位于含有单位元的李群的连通分支内。在李群O(n)的情况中，这个连通分支是特殊正交群SO(n)，由所有行列式为1的正交矩阵组成。因此R = exp(A)的行列式为+1。于是，每一个行列式为1的正交矩阵都可以写成某个斜对称矩阵的指数。 斜埃尔米特矩陣 辛矩阵 Eves, Howard. Elementary...

在线性代数中，一个矩阵A的子式是指将A的某些行与列的交点组成的方阵的行列式；而A的余子式（又称余因式或余因子展开式，英語：minor）是指将A的某些行与列去掉之后所余下的方阵的行列式，其相应的方阵有时被称为余子阵。 将方阵A的一行与一列去掉之后所得到的余子式可用来获得相应的代数余子式（英語：cof...

在数学中，拉普拉斯展开（或称拉普拉斯公式）是一个关于行列式的展开式。将一个n×n矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵B的某一行（或某一列）的n个元素的(n-1)×(n-1)余子式的和。行列式的拉普拉斯展开一般被简称为行列式按某一行（或按某一列）的展开。由于矩阵B有n行n列，它的拉普...

{\displaystyle \mathbf {A} } 的逆矩阵存在，则称 A {\displaystyle \mathbf {A} } 为非奇异方阵或可逆方阵。 與行列式類似，逆矩陣一般用於求解聯立方程組。 如果矩阵 A {\displaystyle A} 可逆，则 A − 1 = a d j ( A ) det (...