而言，不只限這兩數互質時，f(ab) = f(a)f(b) 都成立，則稱此函數為完全積性函數。 在數論以外的其他數學領域中所談到的積性函數通常是指完全積性函數。此條目則只討論數論中的積性函數。 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} －歐拉φ函數，計算與n互質的正整數之數目 μ ( n ) {\displaystyle...

默比乌斯函数是一個積性函數。 以狄利克雷卷積的方法表示，則是 μ ∗ 1 = ϵ {\displaystyle \mu *1=\epsilon \,} ，其中 ϵ {\displaystyle \epsilon \,} 是狄利克雷卷積的單位元，這是默比乌斯反转公式的原理。 劉維爾函數 梅滕斯函數...

在代數的領域，加性函數指有對於任何a,b都有性質f(a+b)=f(a)+f(b)的函數(該性質即柯西函數方程)。 以下討論在數論中的加性函數：對於正整數n的一個算術函數f(n)，當中f(1)=1且當a,b互質，f(ab)=f(a)+f(b)，在數論上就稱它為加性函數。若某算術函數f(n)就算a...

表示素数Omega函数（英语：Prime_omega_function））。因為 Ω ( n ) {\displaystyle \Omega (n)} 是完全加性函數，所以 λ ( n ) {\displaystyle \lambda (n)} 是完全積性函數。（OEIS:A008836） 對於狄利克雷卷積， λ...

{\displaystyle n} 本身則稱為真因數和。 σ x ( n ) {\displaystyle \sigma _{x}(n)} 都是積性函數，但不是完全積性。 σ x ( n ) = ∏ i = 1 r p i ( a i + 1 ) x − 1 p i x − 1 {\displaystyle...

在算術函數集上，可以定義一種二元運算，使得取這種運算為乘法，取普通函數加法為加法，使得算術函數集為一個交換環。其中一種這樣的運算便是狄利克雷摺積。它和一般的卷积有不少相類之處。 對於算術函數 f , g {\displaystyle f,g} ，定義其狄利克雷摺積 ( f ∗ g ) ( n ) =...

函數所組成之幺半群的單位元。 因為幺半群的單位元是唯一的，也可以反過來把M上的恆等函數定義為這個幺半群的單位元。此一定義廣義化成了於範疇論中恆等態射的概念，其中M的自同態並不必然是函數。 於正整數上的恆等函數為一數論中的完全積性函數。 在任意一个 n 維向量空間內，恆等函數表示成單位矩陣In，不論其基為何。...

在數論上，算術函數（或稱數論函數）指定義域為正整數、陪域為複數的函數，即 f : Z + → C {\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{+}\rightarrow \mathbb {C} } 。每個算術函數都可視為複數的序列。 最重要的算術函數是積性及加性函數。算術函數...

唯一定理：對於任意質數p，若兩個積性函數模p的貝爾級數都相等，則這兩個函數是相等的。 對於兩個算術函數的狄利克雷卷積，有 ( f ∗ g ) p ( x ) = f p ( x ) × g p ( x ) {\displaystyle {(f*g)_{p}}(x)=f_{p}(x)\times g_{p}(x)} 。 一個完全積性函數的貝爾級數為幾何級數：...

在泛函分析中，捲積（convolution），或译为疊積、褶積或旋積，是透過两个函数 f {\displaystyle f} 和 g {\displaystyle g} 生成第三个函数的一种数学算子，表徵函数 f {\displaystyle f} 与经过翻转和平移的 g {\displaystyle...

数学上，可积函数是存在积分的函数。除非特别指明，一般积分是指勒贝格积分。否则，称函数为"黎曼可积"（也即黎曼积分存在），或者"Henstock-Kurzweil可积"，等等。 注意，函数可以有不定积分（反导数），而并不在如下的定义中可积。例如函数 F ( x ) = sin ⁡ ( x ) {\displaystyle...