数学において、ゲーゲンバウアー多項式（ケーゲンバウアーたこうしき、英: Gegenbauer polynomials）または超球多項式 (ultraspherical polynomials) C n ( α ) ( x ) {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)}...

最も広く用いられる直交多項式列は古典直交多項式列（英語版、中国語版）と呼ばれる一群で、エルミート多項式列、ラゲール多項式列、ヤコビ多項式（英語版、ドイツ語版、フランス語版、スペイン語版）列やそれらの特別の場合としてのゲーゲンバウアー多項式列、チェビシェフ多項式列...

単項式系 上昇階乗函数系 下降階乗函数系 アーベル多項式系 ベル多項式系 ベルヌーイ多項式系 ディクソン多項式系 フィボナッチ多項式系 ラグランジュ多項式系 リュカ多項式系 スプレッド多項式系 トゥシャール多項式系 ルーク多項式（英語版）系 二項型多項式列 直交多項式系 第二多項式系 シェファー列...

(1-x^{2})\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0\quad {\text{ for }}y=U_{n}(x)} チェビシェフ多項式はゲーゲンバウアー多項式の特別な場合である。 T n ( x ) = n 2 lim ν → 0 Γ ( ν ) C n ( ν ) ( x ) {\displaystyle...

^{m}P_{k}(t)}{\mathrm {d} t^{m}}}} ガウス求積 ゲーゲンバウアー多項式 ルジャンドル有理関数（英語版） トゥラーンの不等式（英語版） ルジャンドルのウェーブレット（英語版） ヤコビ多項式（英語版） 球面調和関数 [脚注の使い方] ^ 永宮健夫...

ここで示した有限級数の形で書き表す事ができる。 ^ ゲーゲンバウアー多項式の項目には、ゲーゲンバウアー多項式と超球多項式は同一であると書いてあるが、本項では 野村 (2006, p. 20) に従って超球多項式を定義したため、ゲーゲンバウアー多項式とは定数倍異なる。 ^ なお、L2(S2, sin θ...

}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x})\quad (n=0,1,2,\dots )} 　　 で定義されるラゲール多項式は区間 [0, ∞) 上の重み e−x の直交関数系を成し、 ∫ 0 ∞ e − x L m ( x ) L n ( x ) d x = δ m...

多項式（英語版）は組合せ論における応用例である。 無限和を評価する。 さらに複雑な母関数で生成する多項式列として、次のようなものがある。 アペル多項式（英語版） チェビシェフ多項式 ゲーゲンバウアー多項式 差分多項式 一般化アペル多項式 q-差分多項式（英語版） 多項式...

最終的に2009年に河瀬和重により証明が行われた。 その際に用いられた一般式は、二項定理を経由するものではなく、ゲーゲンバウアー多項式による級数展開を利用し一種類の無限和に集約された形であった。 S ( φ ) = a 1 + n ∑ j = 0 ∞ ( ∏ k = 1 j...

H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}}e^{-x^{2}}} ゲーゲンバウアー多項式 C n ( α ) ( x ) {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)} C n ( α ) ( x )...

_{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}} 他の完全系の例としては、エルミート多項式、ラゲール多項式、ゲーゲンバウアー多項式、ベッセル関数などがある。 環論における冪等元の完全系 (complete system of idempotents),...