完备空间,或称完备度量空间(英語:Complete metric space)是具有下述性质的一种度量空间:空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。 有理数空间不是完备的,因为 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 的有限位小数表示是一个柯西序列,但是其极限 2 {\displaystyle...
7 KB (1,133 words) - 18:22, 8 April 2024
中,“完备化”的过程并不称为“完备化”,另有其他的表述,请参考代数闭域、紧化或哥德尔不完备定理。 一个度量空间或一致空间被称为“完备的”,如果其中的任何柯西列都收敛,请参看完备空间。 在泛函分析中,一个拓扑向量空间 V {\displaystyle V} 的子集 S {\displaystyle S}...
5 KB (769 words) - 11:50, 18 June 2024
在拓扑学這個數學領域裡,一致空间(uniform space)是指带有一致结构的集合。一致空间是一個拓撲空間,有可以用来定义如完备性、一致连续及一致收敛等一致性質的附加结构。 一致结构和拓扑结构之间的概念区别在於,一致空间可以形式化有关于相对邻近性及点间临近性等特定概念。换句话说,「x 邻近于a 胜过y...
16 KB (3,023 words) - 02:14, 25 February 2023
向量空间(或稱線性空間) 赋范向量空间(或稱線性賦范空間) 拓扑向量空间 内积空间 度量空间 测度空间 完備度量空间 欧几里得空间 希尔伯特空间 射影空间 函数空间 樣本空间 概率空间 代数空间 贝尔空间 伯格曼空间 伯克维奇空间 贝索夫空间 卡拉比–丘空间 康托尔空间 柯西空间 丘空间 闭包空间 共形空间 艾伦伯格–麦克莱恩空间...
49 KB (8,330 words) - 13:01, 7 April 2024
空间都是一个拓扑空间,其拓扑结构由它的半范数诱导。 在赋范向量空间中,完备的赋范向量空间特别重要,称为巴拿赫空间。每个赋范向量空间都是一个巴拿赫空间的稠密子空间,这个巴拿赫空间由此赋范向量空间唯一确定,称为它的完备空间。 在拓扑的角度来说,有限维的向量空间...
7 KB (1,341 words) - 12:26, 7 November 2022
直观上,实数完备性(英語:Completeness of the real numbers)意味着实数轴上(以理查德·戴德金的说法)没有“间隙”。这是实数区别于有理数的特点,有理数在数轴上是有间隙的,即无理数。在十进制计数法下,实数的完备性等价于:实数与一个十进制小数表示一一对应。 实数的完备...
5 KB (802 words) - 01:46, 13 March 2024
在数学裡,希尔伯特空间(英語:Hilbert space)即完备的内积空间,也就是一個帶有內積的完備向量空間。內積的構造推廣了欧几里得空间的距离和角的概念;完備則確保了其上所有的柯西序列會收敛到此空間裡的一點,从而微积分中的許多概念都可以推广到希尔伯特空间中。 希尔伯特空间...
39 KB (4,566 words) - 21:34, 1 July 2024
空间,而一致空间又有完备空间的概念。上述「完备性」中所述的只是一个特例。(这里采用一致空间中的完备性概念,而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性,这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。)当然, R {\displaystyle \mathbb {R} } 并不是唯一的一致完备...
15 KB (2,590 words) - 05:45, 8 March 2024
内积空间(英語:Inner product space)是增添了某種運算的向量空间,這種運算叫做内积,它推廣了原來欧几里德空间的點積,而從比較一般的角度看待向量的“夹角”、“长度”還有正交性。 内积空间有时也叫做准希尔伯特空间(pre-Hilbert space),因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。...
15 KB (1,573 words) - 09:56, 21 April 2024
在泛函分析中,巴拿赫空間(英語:Banach space)是完備賦範向量空間。更精確地說,巴拿赫空間是一個具有範數並對此範數完備的向量空間。其完备性体现在,空间内任意向量的柯西序列总是收敛到一个良定义的位于空间内部的極限。 巴拿赫空間有兩種常見的類型:「實巴拿赫空間」及「複巴拿赫空間」,分別是指將巴拿赫空間的向量空間...
6 KB (1,056 words) - 06:12, 26 December 2023
柯西列的定义依赖于距离的定义,所以只有在度量空间中柯西列才有意义。在更一般的一致空间中,可以定义更为抽象的柯西滤子和柯西网。 柯西列一个重要性质是,在完备空间中,所有的柯西数列都有极限且极限在这空间里,这就让人们可以在不求出这个极限(如果存在)的情况下,利用柯西列的判别法则证明该数列的极限是存在的。柯西列在构造具有完备性的代数结构的过程中也有重要价值,如构造实数。...
8 KB (1,372 words) - 14:29, 4 October 2023