在数学中，雙曲函數恆等式是对出现的变量的所有值都为實的涉及到雙曲函數的等式。这些恒等式在表达式中有些雙曲函數需要简化的时候是很有用的。雙曲函數的恆等式有的與三角恆等式類似。就如同三角函數，他有一个重要应用是非雙曲函數的积分：一个常用技巧是首先使用换元积分法，規則與使用三角函数的代换规则類似，则通过雙曲函數恆等式可简化结果的积分。...

雙曲函數示意圖 在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是雙曲正弦函数 sinh {\displaystyle \sinh } 和雙曲餘弦函数 cosh {\displaystyle \cosh } ，从它们可以导出双曲正切函数 tanh {\displaystyle...

在數學中，雙曲正弦是一種雙曲函數，是雙曲幾何中，與歐幾里得幾何的正弦函數相對應的函數。雙曲正弦可以視為正弦函數的類似物，然而雙曲正弦不具備週期性，且在定義域為實數的情況下，其值域也包括了整個實數域。一般的正弦可以表示為單位圓上特定角構成之弦長的一半，或該角與圓之交點的y座標；而雙曲...

{\displaystyle \sinh ix={\tfrac {1}{2}}(e^{ix}-e^{-ix})=i\sin x} 下表列出部分的三角函數與雙曲函數的恆等式： 其他恆等式： cosh ⁡ i x = 1 2 ( e i x + e − i x ) = cos ⁡ x {\displaystyle \cosh...

cis函數示意圖 在微积分学中，cis函數又稱純虛數指數函數，是複變函數的一种，和三角函數類似，其可以使用正弦函數和餘弦函數 cis ⁡ x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle \operatorname {cis} x=\cos x+i\sin x}...

x=90^{\circ }-y} 對於非三角函數（如双曲函数），或者定義域所代表的意義並非角的度量，則不適用於以上定義。但有些餘函數的定義是參考於與其相關的三角函數，例如雙曲正弦、雙曲餘弦、古德曼函數以及餘古德曼函數是在定義中將對應的三角函數替換為餘函數來定義。...

對代數函數進行不定積分運算能夠產生超越函數，如對數函數便是在對雙曲角圍成的面積研究中，對倒數函數 y = 1 / x {\displaystyle y=1/x} 不定積分得到的，以此方式得到的雙曲函數 sinh , cosh , tanh {\displaystyle \sinh ,\cosh ,\tanh } 等皆為超越函數。...

古德曼函數（Gudermannian function）是一個函數。它無須涉及複數便將三角函數和雙曲函數連繫起來。 古德曼函數的定義如下 g d ( x ) = ∫ 0 x d t cosh ⁡ t − ∞ < x < ∞ = arcsin ⁡ ( tanh ⁡ x ) = arctan ( sinh...

初等函数（基本函數）是由常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、乘方、开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个方程式表示的函数。 一般来说，分段函数不是初等函数，因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示。 初等函数...

在科學和數學中，狄拉克δ函數或簡稱δ函數（譯名德爾塔函數、得耳他函數）是在實數線上定義的一個廣義函數或分佈。它在除零以外的點上都等於零，且其在整個定義域上的積分等於1。δ函數有時可看作是在原點處无限高、无限细，但是总面积为1的一個尖峰，在物理上代表了理想化的質點或点电荷的密度。 從純數學的觀點來看，狄拉克δ函數...

{\displaystyle \cosh } 、 tanh {\displaystyle \tanh } 為雙曲函數，其馬勞克林級數與對應的三角函數很類似，只差在正負號） 除了上述六種基本函數，史上還有下列幾種较少見的三角函数： 弦函數（ c r d θ {\displaystyle \mathrm {crd} \;\theta...