在数学中，某个集合 X 的子集 E 的下确界(英語：infimum 或 infima，记为 inf E )是小于或等于的 E 所有其他元素的最大元素，其不一定在 E 內。所以还常用术语最大下界（简写为 glb 或 GLB）。在数学分析中，实数的下确界是非常重要的常见特殊情况。但這個定义，在更加抽象的序理论的任意偏序集合中，仍是有效的。...

{\displaystyle c} 即為集合 S {\displaystyle S} 的下界。 连续性公理：在非空实数集中，若含上界，則必含最小上界（上确界）；若含下界，則必存在最大下界（下确界)。 偏序关系 最小上界 最大下界 确界存在定理-学术百科-知网空间. wiki.cnki.com.cn. 知网空间...

上确界也被称为最小上界、lub 或 LUB，在格论中也被称为并，在序理论中S的上确界也被记为 ∨ {\displaystyle \vee } S。 若S包含最大元素，则该元素就是上确界。 若S有上确界，则上确界是唯一的。 上确界的对偶概念最大下界叫做下确界或交。 偏序集合的子集可能没有上确界，即使它有上界。...

{\displaystyle 0} 為其上確界，但是沒有最大元：不存在「最大的負數」。最小元與下界、下確界的關係也類似。最大元又與極大元（maximal element）不同：有極大元的集合不一定有最大元，但偏序集若有最大元，則同時亦是唯一的極大元。最小元與極小元（minimal element）亦不同。...

极值定理强化了有界性定理，它表明函数不仅是有界的，而且它的最小上界就是最大值，最大下界就是最小值。 我们来证明f 的上界和存在最大值。把这个结果应用于函数–f，也可推出f 的下界和存在最小值。 我们首先证明有界性定理，它是证明极值定理中的一个步骤。 假设函数f在区间[a,b]内連續且没有上界，那么对于每一个自然数n，都存在[a...

每個同界角皆差360度，換句話說，每360度就會出現一個同界角。每個同界角兩邊的向量內積與外積皆有相同的值。此外，任何角都可以找到最小正同界角和最大負同界角。 同界角可以如下定義： 若有兩個角有相同的始邊與終邊，則兩個角互為同界角 若兩角相差360度的整數倍則兩個角互為同界角 同界角存在關係式：...

在数学中，在一个集合上的交(meet)有两种定义：关于在这个集合上的偏序的唯一下确界(最大下界)，假定下确界存在的话； 或者是满足幂等律的交换结合二元运算。在任何一个情况下，这个集合与交运算一起是半格。这两个定义产生等价的结果，除了在偏序方式中有可能直接定义更一般的元素的集合的交。最常见到交运算的领域是格。 通常把 x {\displaystyle...

被稱為“上有界”的，这个数 k {\displaystyle k} 被称为 S {\displaystyle S} 的上界。可用类似的定义术语“下有界”和下界。 如果集合 S {\displaystyle S} 有上界和下界二者，則它是有界的。所以，如果一個实数集合包含在有限区间内，則它是有界的。 度量空间...

其中Q表示有理数。这个函数既没有上界也没有下界，所以上确界和下确界分别是∞和−∞。但是，从勒贝格测度的角度来看，有理数集合的测度为零；因此，真正有关的是在这个集合的补集发生的事情，其中函数由arctan x给出。于是，函数的本质上确界是π/2，本质下确界是−π/2。 最后，考虑函数f(x) = x3对于所有的实数x。它的本质上确界是+∞，本质下确界是−∞。...

} {\displaystyle \{x,y\}} 都有最小上界（并），或者对于任意的 x , y ∈ L {\displaystyle x,y\in L} ， { x , y } {\displaystyle \{x,y\}} 都有最大下界（交），则称 ( L , ≤ ) {\displaystyle...

b在L中存在最大下界和最小上界，则(L,≤)是一个格。(從此定義可看出，其並不要求如全序集合般的每二元素可比性，但仍要求每二元素有最大下界和最小上界） 这里对于取a,b的最大下界的操作用 a ∧ b {\displaystyle a\wedge b} 表示； 对于取a,b的最小上界操作用 a ∨...