理想（Ideal）是一个环论中的概念。 若某环的子集为在原环加法的定义下的子群，且其中的元素在原环乘法下与任意原环中的元素结果都在该子群中，则称其为原环的理想。 通俗地说，一环的理想在加法上成群且在乘法上表现如同一个黑洞。 理想把整数的某些子集，例如偶数或3的倍数组成的集合给一般化了。两个偶数相加或...

理想可以指： 漢語中，理想指嚮往和追求的目標，或對特定人事物之主觀想像。為日語借詞。 理想 (序理论)，序理论的概念。 理想 (环论)，抽象代數的概念。 理想气体，热力学的概念。 理想汽车，总部设于北京市的汽车公司。...

抽象代数中，环论（英語：Ring Theory）是針對一種稱為环的代数结构之研究，环類似可交換群，有定義運算「+」，此外又定義另一種運算「·」（此處的「+」和「·」不一定是一般的加法及乘法，但和在整數中定義的加法及乘法有類似性質）。环论研究環的結構、環的代數表現方式（英语：representation...

在抽象代数之分支环论中，一个交换环（commutative ring）是乘法运算满足交换律的环。对交换环的研究称为交换代数学。 某些特定的交换环在下列类包含链中： 交换环 ⊃ 整环 ⊃ 惟一分解整环 ⊃ 主理想整环 ⊃ 欧几里得整环 ⊃ 域 一个带有两个二元运算的集合 R 是环，即将环...

在数学分支序理论中，理想是偏序集合的一個特殊子集。尽管这个术语最初演化自抽象代数中环理想概念，它后来被一般化为一个不同的概念。理想对于序理论和格理论中的很多构造是非常重要的。 序理论中理想的最一般的定义如下： 偏序集合(P,≤)的非空子集I称为一个理想，若I满足： I是下闭的。即，∀x ∈ I, y...

在數學中，主理想環是使得每個理想均可由單個元素生成的環。 如果一個主理想環同時也是整環，則稱之主理想整環（常簡寫為 PID）。 整數環 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 是主理想域，更一般地說，歐幾里德環恆為主理想環。 域上的（单变元）多項式環是主理想環。 高斯整數環 Z [...

在抽象代数中，主理想整环（英語：principal ideal domain，简称PID）是其中所有理想都是主理想（由一个元素生成的理想）的整环。一个更广泛的概念是主理想环，它指的是其中所有理想都是主理想的非零交换环，但一些作者（如布尔巴基）把主理想整环称为主理想环。主理想整环和主理想环的区别在于主理想环可以有零因子，而主理想整环不可以。...

0}，是R内的一个理想。每一个交换环R内的理想都可以从某个环同态用这种方法得出。对于具有单位元的环，环同态的核是一个没有单位元的子环。 环同态f是单射，当且仅当ker(f) = {0}。 f的像，im(f)，是S的一个子环。 如果f是双射，那么它的逆映射f−1也是环同态。在这种情况下，f称为同构。在环论的立场下，同构的环不能被区分。...

在数论中，理想数是在某个数域的整数环中表示一个理想的代数数。理想数的概念由恩斯特·库默尔首先引进，并导致理查德·戴德金发展出环的理想的概念。一个整环中的理想被称作主理想当且仅当它是由某个元素的所有倍数组成。 根据主理想化定理，一个代数数域中的整环中的所有非主理想的理想...

在数学中，特别是交换代数中，分式理想的概念是在对整环的研究中所引入的，并且在戴德金整环的研究中得到丰富。类似于通过给整数引入分母而产生了分数，在整环中，分式理想可认为是为理想引入了在某种意义上[來源請求]的分母。在特定上下文中，为了有所区别，环的普通理想常被强调为整理想。 设 R {\displaystyle R} 是一个整环，...

在環論中，商環（或稱剩餘類環）是環對一個理想的商結構。 設 R {\displaystyle R} 為一環， I ⊂ R {\displaystyle I\subset R} 為一雙邊理想。定義下述等價關係 x ∼ y ⟺ x − y ∈ I {\displaystyle x\sim y\iff x-y\in...