单位四元数（Unit quaternion）可以用于表示三维空间裡的旋转。它与常用的另外两种表示方式（三维正交矩阵和欧拉角）是等价的，但是避免了欧拉角表示法中的万向锁问题。比起三维正交矩阵表示，四元数表示能够更方便地给出旋转的转轴与旋转角。 用四元数来表示旋转要解决两个问题，一是如何用四元数...

空间。 作为用于描述现实空间的坐标表示方式，人们在复数的基础上创造了四元数并以a+bi+cj+dk的形式说明空间点所在位置。 i、j、k作为一种特殊的虚数单位参与运算，并有以下运算规则：i0=j0=k0=1，i2=j2=k2=-1 对于i、j、k本身的几何意义可以理解为一种旋转，其中i旋转...

表现在三维空间中的旋转的一种可供选择的方式是四元数。 四元数提供了表示在三维中旋转和方向的另一种方式。它们应用与计算机图形学、控制理论、信号处理和轨道力学中。例如，在太空船的姿态控制系统中常用四元数来下达指令，还用于测距它们的当前姿态。基本原理是组合很多四元数变换比组合很多矩阵变换在数值上更加稳定。...

与此探討没有关系。 ——H. S. M. 考克斯特，Regular Polytopes 一个有四个空间性维数的空间（“纯空间性”的四维空间），或者说有四个两两正交的运动方向的空间。这种空间就是数学家们用来研究四维几何物体的空间。 从数学方面讲，普通三维空间集合的四维等价物是欧几里得四维空间，一个四...

在三维空间中，旋转矩阵有一个等于单位1的实特征值。旋转矩阵指定关于对应的特征向量的旋转(欧拉旋转定理)。如果旋转角是 θ，则旋转矩阵的另外两个(复数)特征值是 exp(iθ) 和 exp(-iθ)。从而得出 3 维旋转的迹数等于 1 + 2 cos(θ)，这可用来快速的计算任何 3 维旋转的旋转角。...

在經典力學與幾何學裏，所有環繞著三維歐幾里得空間的原點的旋轉，組成的群，定義為旋轉群。根據定義，環繞著原點的旋轉是一個保持向量長度，保持空間取向（遵守右手定則或左手定則）的線性變換。 兩個旋轉的複合等於一個旋轉。每一個旋轉都有一個獨特的逆旋轉；零角度的旋轉是單位元。旋轉運算滿足結合律．由於符合上述四...

另外也存在其他種類的空间，例如球面非欧几里得空间，相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。 有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。其一是平移，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。其二是关于在这个平面中固定点的旋转...

四维空间的球面，也就是一个三维空间。单位四元数具有单位长度，对应于超球面的单位半径。 单位四元数的向量部分表示旋转轴所对应的二维球面，其强度对应于旋转角度一半的正弦值。每个旋转都可以用两个符号相反的单位四元数表示，而且对于三维旋转空间来说，两个单位四元数的四元积产生一个新的单位四元数...

以狹義來說，六維歐幾里得空間，ℝ6，是通過將所有實六元數視為該空間的六個向量而生成的。因此，它具有所有歐氏空間的性質，因此它是線性的，具有度量和一組完整的向量操作。特別地，兩個六維向量之間的點積容易定義，並且可以用於計算度量。 6 × 6的點積可以用於描述例如定點旋轉變換的幾何操作。 以廣義來說的，任何可以用六個坐標描述的空間，...

四胞体的顶点看作是四元数，由于单位四元数乘除等同于旋转，能够构造出一个等同于只有旋转的外尔群F4的乘法群。其它正多胞形，如正十六胞体和正六百胞体也有该性质。 当我们用四元数来解释时，F4根格（即正二十四胞体所有顶点的完整共轭）在乘法下封闭，这意味着其形成了一个环。这是一个哈维兹整四元数（英语：Hurwitz...

无论是在坐标空间还是在实际的时空中，在由两个空间单位矢量确定的平面中的旋转就是通常意义上的旋转。不过当那个平面是由一个时间单位矢量以及一个空间单位矢量确定的时候，其中的“旋转”称作洛伦兹递升（英语：Lorentz boost），与欧几里德旋转就不那么相似了。 赫尔曼·闵可夫斯基基于这一构想在四维空间...