抽象代数学の分野である環論におけるイデアル（英: ideal, 独: Ideal）は環の特別な部分集合である。整数全体の成す環における、偶数全体の成す集合や 3 の倍数全体の成す集合などの持つ性質を一般化したもので、その部分集合に属する任意の元の和と差に関して閉じていて、なおかつ環...

数学、特に抽象代数学の一分野である環論における可換環（かかんかん、英: commutative ring）は、その乗法が可換であるような環をいう。可換環の研究は可換環論あるいは可換代数学と呼ばれる。 いくつか特定の種類の可換環は以下のようなクラスの包含関係にある。 可換環 ⊃ 整域 ⊃ 整閉整域 ⊃ 一意分解環 ⊃ 単項イデアル整域...

イデアルを使って剰余環を作り、単純環に帰着するなど）。こういった抽象的な性質に加えて、環論では可換環と非可換環を様々な点で分けて考える（前者は代数的数論や代数幾何学の範疇に属する）。特に豊かな理論が展開された特別な種類の可換環として、可換体があり、独自に体論...

ウィキブックスに環論関連の解説書・教科書があります。 数学において、環論（かんろん、英: ring theory）は（加法と乗法が定義され、整数の持つ性質とよく似た性質を満足する代数的構造である）環を研究する学問分野である。環論の研究対象となるのは、環の構造や環の表現（環上の加群）などについての一般論...

素イデアル（そイデアル、英: prime ideal）は、環のイデアルで、ある条件を満たすものである。歴史的には、素数（素元）の概念の拡張としてデデキントによって代数体の整数環に対して定義された。整数環（一般にデデキント環（英語版））のすべてのゼロでない（整）イデアルは、素イデアル...

の数論の拡張にむけて多大な努力が支払われた。また19世紀後半にダフィット・ヒルベルトは、多項式イデアルが有限生成であることを示し、ラスカー、ジェームズ・マコーレーは、多項式イデアルの準素イデアル分解に関する研究をおこなった。その後、日本の園正造は、可換環論の抽象化に邁進するとともにデデキント環...

環 R の極大左イデアル（きょくだいひだりいである、英: maximal left ideal）とは、R 以外の左イデアルの中で（集合の包含関係に関して）極大なもののことである。すなわち、左イデアル I を真に含む左イデアルが R しかないときに I を R の極大左イデアルという。極大右イデアル...

イデアル類群（イデアルるいぐん、英: ideal class group）あるいは類群（るいぐん、英: class group）とは、イデアルの類（英: ideal class）と呼ばれる(分数)イデアルの同値類と、それらの間の積によって定まる群のことであり、主に整数論において用いられる。イデアル...

代数学において単項イデアル整域（たんこうイデアルせいいき、あるいは主イデアル整域、英: principal ideal domain; PID）あるいは主環（しゅかん、仏: anneau principal）とは、任意のイデアルが単項イデアルである（可換）整域のことである。 より一般に、任意のイデアルが単項イデアル...

数学、とくに可換環論において可換環のクルル次元（クルルじげん、英: Krull dimension）とは、素イデアルのなす減少列の長さの上限である。ヴォルフガング・クルルに因んで名づけられた。文脈から明らかなときには単に次元と呼ぶことも多い。 以下、環はすべて可換とする。環 R における素イデアル p {\displaystyle...

数学、特に可換環論において、分数イデアル（英: fractional ideal）の概念は整域の文脈で導入され、特にデデキント整域の研究において成果が多い。ある意味で、整域の分数イデアルは分母が許されたイデアルのようなものである。分数イデアルと普通の環のイデアルがともに議論に出てくるような文脈では、明確にするために後者を整イデアル...