解析学におけるポッホハマー記号（ポッホハマーきごう、英: Pochhammer symbol）はレオ・オーギュスト・ポッホハマー（英語版）の名に因む特殊函数で、組合せ論および超幾何級数論にも応用を持つ。 同じ函数を表す記号だが、表記にはいくつかバリエーションがある。 x ( n ) {\displaystyle...

数学において、qポッホハマー記号(英: q-Pochhammer symbol)はq-類似の数式に頻出する乗積を略記する記号である。 ( a ; q ) ∞ := ∏ k = 0 ∞ ( 1 − a q k ) ( a ; q ) n := ( a ; q ) ∞ ( a q n ; q ) ∞ {\displaystyle...

が非負整数でないものとしても積自体は定義可能で、組合せ論の外で重要な役割を持つ。この場合、上記の積はポッホハマー記号 (n)k あるいは、k-次下降階乗冪 nk で表される（呼び方や記法の詳細はポッホハマー記号の項へ譲る）。 ここでは S の相異なる k-個の元からなる順序付けられた組を S の k-順列（あるいは...

昇冪、上方階乗冪とも。 ^ 特に (x)n のことを言い、上昇階乗冪を表す記号とする文献もあるので注意（この場合、下降階乗冪は (x − n + 1)n と書ける）。また、ポッホハマー自身はこれを二項係数を表すため用いた。詳細はポッホハマー記号の項目を参照。 ^ このような記法では ( x ) n ± = ∏...

_{n\leq k<0}(1-aq^{k})^{-1}&(n<0)\end{cases}}} はqポッホハマー記号である。なお、厳密にいうと、右辺の級数がq超幾何級数であり、左辺の記号は級数の和によって定義されるq超幾何関数を表すものである。 q二項定理 ハイネの和公式 ラマヌジャンの和公式...

_{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log {n}\right)} ( γ {\displaystyle \gamma } はオイラーの定数である)。 qポッホハマー記号 。 ( a ; q ) ∞ := ∏ k = 0 ∞ ( 1 − a q k ) , | q | < 1 , ( a ; q ) n := (...

...}」あるいは「0 ≤ α ≤ 1かつθ>-α」のいずれかが成り立たなければならない。 このモデルを仮定すると、n人の客のいずれの分割もポッホハマー記号の意味で P r ( B n = B ) = ( θ + α ) | B | − 1 , α ( θ + 1 ) n − 1 , 1 ∏ b ∈...

{\begin{aligned}(x)_{0}&:=1,\\(x)_{n}&:=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k)\\\end{aligned}}} はポッホハマー記号である。 r + 1 F r {\displaystyle _{r+1}F_{r}} 型超幾何級数 r + 1 F r [ α 0 , α 1...

_{k=1}^{n}[k]_{q}={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}} と定義される。ただし (q; q)n はq-ポッホハマー記号を表す。 このとき Sn を n 次の対称群、inv(σ) を置換 σ の転倒数として、 [ n ] q ! = ∑ σ ∈ S n q inv...

超幾何級数 などの関数、もしくはそのq類似についても行列バージョンを考えることができる。例えば、行列からなる無限乗積の収束を適切に定義したうえで、qポッホハマー記号の行列バージョンは次のように定義できる。 ( A ; q ) n := ∏ k = 0 n − 1 ( I − A q k ) , ( A ;...

をq二項定理と呼ぶ。ただし、 ( a ) n {\displaystyle (a)_{n}} はポッホハマー記号、 ( a ; q ) n {\displaystyle (a;q)_{n}} はqポッホハマー記号である。 右辺を   f ( a , z ; q ) {\displaystyle \ f(a...