Формула на Кардàно e формула за намиране корените на кубично уравнение от каноничен вид,
y 3 + p y + q = 0 {\displaystyle y^{3}+py+q=0} кръстена на италианския математик Джироламо Кардано . Решението му е съобщено от друг италиански математик – Николо Фонтана Тарталя , който по-късно претендира, че Кардано се е заклел да не го публикува и влиза в десетгодишен спор с него.
С помощта на тази формула може да бъде решено и всяко кубично уравнение от общ вид
a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,\,} ( a ≠ 0 ) {\displaystyle \,\,(a\neq 0)} с коефициенти реални числа. Чрез помощно заместване
x = y − b 3 a {\displaystyle x=y-{\frac {b}{3a}}}
се получава, че:
a ( y − b 3 a ) 3 + b ( y − b 3 a ) 2 + c ( y − b 3 a ) + d = 0 {\displaystyle a\left(y-{\frac {b}{3a}}\right)^{3}+b\left(y-{\frac {b}{3a}}\right)^{2}+c\left(y-{\frac {b}{3a}}\right)+d=0}
a y 3 − b y 2 + b 2 y 3 a − b 3 27 a 2 + b y 2 − 2 b 2 y 3 a + b 3 9 a 2 + c y − b c 3 a + d = 0 {\displaystyle ay^{3}-by^{2}+{\frac {b^{2}y}{3a}}-{\frac {b^{3}}{27a^{2}}}+by^{2}-{\frac {2b^{2}y}{3a}}+{\frac {b^{3}}{9a^{2}}}+cy-{\frac {bc}{3a}}+d=0}
Николо Тарталя a y 3 + ( c − b 2 3 a ) y + ( d + 2 b 3 27 a 2 − b c 3 a ) = 0 {\displaystyle ay^{3}+\left(c-{\frac {b^{2}}{3a}}\right)y+\left(d+{\frac {2b^{3}}{27a^{2}}}-{\frac {bc}{3a}}\right)=0}
y 3 + 3 a c − b 2 3 a 2 y + 27 a 2 d + 2 b 3 − 9 a b c 27 a 3 = 0 {\displaystyle y^{3}+{\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}y+{\frac {27a^{2}d+2b^{3}-9abc}{27a^{3}}}=0}
По този начин p {\displaystyle p} и q {\displaystyle q} получават стойности:
p = 3 a c − b 2 3 a 2 {\displaystyle p={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}} q = 27 a 2 d + 2 b 3 − 9 a b c 27 a 3 {\displaystyle q={\frac {27a^{2}d+2b^{3}-9abc}{27a^{3}}}} Самата формула определя параметрите Q {\displaystyle Q} и D {\displaystyle D} в следния вид:
Q = ( p 3 ) 3 + ( q 2 ) 2 = p 3 27 + q 2 4 = 4 p 3 + 27 q 2 108 = − 18 a b c d + 4 b 3 d − b 2 c 2 + 4 a c 3 + 27 a 2 d 2 108 a 4 = − D 108 a 4 {\displaystyle Q=\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}={\frac {p^{3}}{27}}+{\frac {q^{2}}{4}}={\frac {4p^{3}+27q^{2}}{108}}={\frac {-18\,abcd+4\,b^{3}d-b^{2}c^{2}+4\,ac^{3}+27\,a^{2}d^{2}}{108a^{4}}}=-{\frac {D}{108a^{4}}}}
Q = − D 108 a 4 {\displaystyle Q=-{\frac {D}{108a^{4}}}} играе ролята на дискриминанта в уравнението y 3 + p y + q = 0 {\displaystyle y^{3}+py+q=0} , а D = 18 a b c d − 4 b 3 d + b 2 c 2 − 4 a c 3 − 27 a 2 d 2 {\displaystyle D=18\,abcd-4\,b^{3}d+b^{2}c^{2}-4\,ac^{3}-27\,a^{2}d^{2}} е дискриминантата на уравнението от общ вид a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,} . Знаменателят 108 a 4 > 0 {\displaystyle 108a^{4}>0} за a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} .
В зависимост от D (и респективно от Q ) се определят какви ще бъдат корените на уравнението:
Ако D > 0 {\displaystyle D>0} и Q < 0 {\displaystyle Q<0} , то уравнението има 3 различни реални корена.
Ако D = 0 {\displaystyle D=0} и Q = 0 {\displaystyle Q=0} , то уравнението има 1 двукратен реален корен и още 1 реален корен. Възможно е да има и 1 трикратен реален корен, когато p = q = 0 {\displaystyle p=q=0} , тоест 3 a c − b 2 = 2 b 3 − 9 a b c + 27 a 2 d = 0 {\displaystyle 3ac-b^{2}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d=0} .
Ако D < 0 {\displaystyle D<0} и Q > 0 {\displaystyle Q>0} , то уравнението има 1 реален корен и 2 комплексни.
Джироламо Кардано Според формулата на Кардано,
y 1 = α + β {\displaystyle y_{1}=\alpha +\beta } y 2 = − α + β 2 + i 3 ( α − β ) 2 {\displaystyle y_{2}=-{\frac {\alpha +\beta }{2}}+{\frac {i{\sqrt {3}}(\alpha -\beta )}{2}}} y 3 = − α + β 2 − i 3 ( α − β ) 2 {\displaystyle y_{3}=-{\frac {\alpha +\beta }{2}}-{\frac {i{\sqrt {3}}(\alpha -\beta )}{2}}} където е положeно
α = − q 2 + Q 3 = − q 2 + p 3 27 + q 2 4 3 {\displaystyle \alpha ={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {Q}}}}={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {p^{3}}{27}}+{\frac {q^{2}}{4}}}}}}} β = − q 2 − Q 3 = − q 2 − p 3 27 + q 2 4 3 {\displaystyle \beta ={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {Q}}}}={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {p^{3}}{27}}+{\frac {q^{2}}{4}}}}}}} Следователно:
x 1 = y 1 − b 3 a {\displaystyle x_{1}=y_{1}-{\frac {b}{3a}}}
x 2 = y 2 − b 3 a {\displaystyle x_{2}=y_{2}-{\frac {b}{3a}}}
x 3 = y 3 − b 3 a {\displaystyle x_{3}=y_{3}-{\frac {b}{3a}}}