Äquilibrierung – Wikipedia
Unter Äquilibrierung (lateinisch aequilibrium ‚Gleichgewicht‘) versteht man in der numerischen Mathematik die Multiplikation der Zeilen oder Spalten eines linearen Gleichungssystems mit bestimmten Faktoren, so dass anschließend alle Zeilen bzw. Spalten die gleiche Norm besitzen. Ziel dieser Skalierung ist es, die Konditionszahl des Gleichungssystems zu verringern, was den Einfluss von Störungen der Eingabedaten (z. B. durch Rundungsfehler) auf die Lösung verringert.
Äquilibrierung ist damit eine Möglichkeit der Vorkonditionierung linearer Gleichungssysteme, allerdings im Regelfall nicht besonders effektiv, da die durch die Diagonalmatrix gegebene Approximation der Inversen nicht gut ist. Etwa bei den meisten Diskretisierungsverfahren für partielle Differentialgleichungen sind andere Vorkonditionierer vorzuziehen.
Mathematische Beschreibung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ziel der Äquilibrierung ist das Ersetzen des Gleichungssystems durch ein äquivalentes Gleichungssystem mit Systemmatrix mit möglichst kleiner Konditionszahl. Dabei hängt die Konditionszahl von der Matrixnorm ab und diese Verkleinerung gelingt nicht zwingend bezüglich jeder Matrixnorm. Man kann allerdings für die Zeilensummennorm und die Spaltensummennorm optimale Skalierungen angeben.
Zeilenäquilibrierung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Eine Zeilenäquilibrierung entspricht der Multiplikation der Matrix A von links mit einer Diagonalmatrix D. Durch Skalierung der Zeilen mit der Betragssummennorm wird die Kondition des skalierten Gleichungssystems bezüglich der Zeilensummennorm
optimiert. Es gibt also keine reguläre Diagonalmatrix derart, dass . Dabei wird jede Zeile der Matrix durch ihre Zeilensumme geteilt (diese Summe ist größer als 0, da die Matrix als regulär vorausgesetzt wurde).
Spaltenäquilibrierung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Eine Äquilibrierung der Spalten entspricht der Multiplikation der Matrix A von rechts mit einer Diagonalmatrix. Skalierung der Spalten über die Betragssummennorm, indem man durch die Spaltensummen teilt, liefert eine optimale Skalierung bezüglich der Spaltensummennorm in dem Sinne, dass keine Diagonalmatrix existiert derart, dass .
Beispiel
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Anhand eines kurzen Beispiels soll die Zeilenäquilibrierung demonstriert werden. Gegeben sei die Matrix A zum linearen Gleichungssystem .
mit der Inversen
Damit ist die Kondition der Matrix bezüglich der Zeilensummennorm
Bei der Zeilenäquilibrierung wird nun die folgende Diagonalmatrix (aufgestellt wie oben beschrieben) von links heranmultipliziert. Damit ergibt sich
mit der Inversen
Die Kondition der Matrix berechnet sich zu
was kleiner ist als die Kondition der Matrix . Der Wert ist hierbei aufgrund der Definition von immer 1.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- A. Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme. 2. Auflage. Vieweg, 2005, ISBN 3-528-13135-7
- A. Kielbasinski und H. Schwetlick: Numerische lineare Algebra. Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1988