Ein Bildmaß ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie und dient dazu, das Maß in einem Maßraum
auf einen anderen Raum
zu übertragen. Hierbei werden mithilfe einer messbaren Funktion
den Mengen in
Werte zugeordnet. Das so auf
definierte Maß ist das Bildmaß.
Eine wichtige Rolle spielt das Bildmaß insbesondere bei der Definition der Verteilung einer Zufallsvariablen.
Für das Bildmaß existieren verschiedene Notationen, meistens wird das Symbol
oder
verwendet:
,
,
,
, oder
.
Es sei
ein Maßraum,
ein Messraum und
![{\displaystyle g\colon \Omega \to \Omega '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95f4128874793c92be1b77254144256754a167a1)
eine
-messbare Funktion. Dann ist die Abbildung
![{\displaystyle (g^{*}\mu ):=\mu \circ g^{-1}:\Sigma '\to [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9704fc7180d2b0abf70015975b6ef8222eb4d83e)
definiert durch
![{\displaystyle A'\mapsto \mu (g^{-1}(A'))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8388d2b44998f9ae238fc250c2f51bdc6030964e)
ein Maß auf
, genannt das Bildmaß von
bezüglich
. Dabei bezeichnet
das Urbild von
.
Für eine messbare Funktion
(wobei
die (affin) erweiterten reellen Zahlen bezeichnet) gilt der folgende Transformationssatz für messbare Mengen
:
,
wenn mindestens eines der beiden obigen Integrale definiert ist.[1]
- ↑ Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3. Theorem 1.6.12.