Brahmasphutasiddhanta – Wikipedia

Brahmasphutasiddhanta (Brāhmasphuṭasiddhānta: Sanskrit, ब्राह्मस्फुटसिद्धान्तः = „Vervollkommnung der Lehre Brahmas“) ist das bekannteste Werk des indischen Mathematikers Brahmagupta. Erstellt wurde das in Versform geschriebene Buch ungefähr im Jahr 628.^[1]

Das Buch besteht aus 24 Kapiteln, die vor allem der Astronomie gewidmet sind. Zwei Kapitel behandeln mathematische Themen und sind eine deutliche Weiterentwicklung der Mathematik, wie sie im Werk Aryabhatiya des Mathematikers Aryabhata dargelegt ist: In den 66 Versen von Kapitel XII und den 101 Versen von Kapitel XVIII werden arithmetische und algebraische Rechenmethoden ohne Beweise äußerst knapp beschrieben.

Im Buch findet sich die älteste bekannte systematische Beschreibung der Eigenschaften der Null, der positiven und negativen Zahlen, wobei eine Vorstellung von Eigentum und Schuld zugrunde liegt:

Die Zulässigkeit negativer Zahlen verwendete Brahmagupta dazu, quadratische Gleichungen in allgemeiner Form ohne Fallunterscheidungen zu lösen. Konkret beschrieb er die Berechnung einer Lösung der quadratischen Gleichung, die man heute in der Form

${\displaystyle a{x}^{2}+bx=c}$  mit ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle a>0}$

notiert, in verbaler Weise, d. h. ohne Formeln:

Das entspricht der Lösungsformel

${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}\ .}$

In Kapitel XVIII, Verse 64 bis 71^[3] werden spezielle diophantische Gleichungen, nämlich Pellsche Gleichungen, untersucht. Dabei wird zu zwei (nicht unbedingt verschiedenen) Lösungspaaren ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}$ der Pellschen Gleichung

${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$

ein drittes Lösungspaar ${\displaystyle (x_{3},y_{3})}$ mittels der Brahmagupta-Identität berechnet. Brahmagupta verwendet sogar noch eine etwas allgemeinere Version, bei der zu Lösungspaaren ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}$ der beiden Gleichungen

${\displaystyle x_{1}^{2}-ny_{1}^{2}=k_{1}}$ und ${\displaystyle x_{2}^{2}-ny_{2}^{2}=k_{2}}$

ein Lösungspaar der Gleichung

${\displaystyle x_{3}^{2}-ny_{3}^{2}=k_{1}k_{2}}$, nämlich

${\displaystyle x_{3}=x_{1}x_{2}+ny_{1}y_{2}}$ und ${\displaystyle y_{3}=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}}$,

berechnet wird.

Die Werke Brahmaguptas und seiner Zeitgenossen, insbesondere betreffend Astronomie und die indisch-arabische Ziffernschreibweise, haben mittels Übersetzungen ins Arabische die Entwicklung der islamischen Mathematik maßgeblich beeinflusst. Dabei wurde allerdings von den arabischen Mathematikern wie al-Chwarizmi die Verwendung negativer Zahlen nicht aufgegriffen.^[4]

Die erste Übersetzung in eine europäische Sprache samt einer breiten Verfügbarmachung geht auf Henry Thomas Colebrooke im Jahr 1817 zurück.^[5] Im Jahr 1902 erfolgte eine Edition ohne Übersetzung.^[6] Eine Originalversion in Sanskrit mit Kommentaren in Englisch wurde 1966 veröffentlicht.^[7]

• Kim Plofker: Mathematics in India. In: Victor J. Katz: A sourcebook in the mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam. Princeton 2007, ISBN 978-0-691-11485-9, S. 385–514, doi:10.1515/9780691235394. 
• Acharya Ramswarup Sharma, Indian Institute of Astronomical and Sanskrit Research (Hrsg.): The Brāhma-sphut a-siddhānta. New Dehli 1966 (archive.org – Vier Bände). 

1. ↑ A. P. Juschkewitsch: Geschichte der Mathematik im Mittelalter. B. G. Teubner Verlag, Leipzig 1964, S. 94. 
2. ↑ ^{a b} Zitiert nach der Übersetzung von Jörg Bewersdorff: Algebra für Einsteiger. Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie. 6. Auflage. Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-26151-1, S. 6 f., doi:10.1007/978-3-658-26152-8. 
3. ↑ Kim Plofker: Mathematics in India. In: Victor J. Katz: A sourcebook in the mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam. Princeton 2007, ISBN 978-0-691-11485-9, S. 154–156, doi:10.1515/9780691235394. 
4. ↑ Kim Plofker: Mathematics in India. In: Victor J. Katz: A sourcebook in the mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam. Princeton 2007, ISBN 978-0-691-11485-9, S. 434, doi:10.1515/9780691235394. 
5. ↑ Henry Thomas Colebrooke: Algebra with arithmetic and mensuration from the Sanskrit of Brahmegupta and Bhascara. London 1817 (archive.org – 4 Bände). 
6. ↑ Brahmagupta: Brāhmasphuṭasiddhānta and Dhyānagrahopadeṣadhyāya. Hrsg.: Sudhākara Dvivedin. Medical Hall Press, Benares 1902 (archive.org). 
7. ↑ Brahmagupta, Ram Swarup Sharma, Pṛthūdakasvāmin, Sudhākara Dvivedī (Indian Institute of Astronomical and Sanskrit Research): Brāhma-sphuṭa-siddhānta. New Delhi 1966 (archive.org).