Zeichnung des Epanechnikov-Kerns Der Epanechnikov-Kern (nach W. A. Jepanetschnikow) ist derjenige Kern , der für einen kompakten Träger folgende Eigenschaften erfüllt:
k ( x ) ≥ 0 {\displaystyle k(x)\geq 0} für alle x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } ∫ k ( x ) d x = 1 {\displaystyle \int k(x)\,{\mathrm {d} }x=1} ∫ x 2 k ( x ) d x = 1 {\displaystyle \int x^{2}k(x)\,{\mathrm {d} }x=1} ∫ k 2 ( x ) d x {\displaystyle \int k^{2}(x)\,{\mathrm {d} }x} wird minimiert. Durch diese Eigenschaften minimiert der Epanechnikov-Kern unter allen Kernen die mittlere quadratische Abweichung des zugehörigen Kerndichteschätzers . Es handelt sich hierbei um ein Polynom der Form a + b x 2 {\displaystyle a+bx^{2}} .
Wir wollen die numerischen Faktoren a , b {\displaystyle a,b} des Kerns in Kontext setzen. Betrachte dazu zunächst die normierte Familie k n , d ( x ) {\displaystyle k_{n,d}(x)} , deren Terme im Interval [ − d , d ] {\displaystyle [-d,d]} eine Hügelform annehmen und welche für große n gegen die rechteckige Verteilung der Höhe 1 2 d {\displaystyle {\tfrac {1}{2d}}} konvergiert:
k n , d ( x ) = { 1 2 d ( 1 + 1 2 n ) ( 1 − ( x d ) 2 n ) , | x | ≤ d 0 , | x | > d {\displaystyle k_{n,d}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2d}}\left(1+{\frac {1}{2n}}\right)\left(1-\left({\frac {x}{d}}\right)^{2n}\right)&,|x|\leq d\\0&,|x|>d\end{cases}}} Für diese gilt
∫ − ∞ ∞ x 2 n k n , d ( x ) d x = d 2 n 4 n + 1 . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{2n}k_{n,d}(x)\,{\mathrm {d} }x={\frac {d^{2n}}{4n+1}}.} Der von Epanechnikov selbst angegebene Kern normiert dieses Integral für n = 1 {\displaystyle n=1} auf Eins. Für ( d 4 + 1 ) 2 = 1 {\displaystyle \left({\tfrac {d}{\sqrt {4+1}}}\right)^{2}=1} wählen wir also k E := k 1 , 5 {\displaystyle k_{E}:=k_{1,{\sqrt {5}}}} [ 1] :
k E ( x ) = { 3 4 5 ( 1 − x 2 5 ) , | x | ≤ 5 0 , | x | > 5 {\displaystyle k_{E}(x)={\begin{cases}{\frac {3}{4{\sqrt {5}}}}\left(1-{\frac {x^{2}}{5}}\right)&,|x|\leq {\sqrt {5}}\\0&,|x|>{\sqrt {5}}\end{cases}}} Mitunter wird auch der Kern mit d = 1 {\displaystyle d=1} als Epanechnikov-Kern bezeichnet, der dementsprechend die Eigenschaft 3 nicht erfüllt:
k E ( x ) = { 3 4 ( 1 − x 2 ) , | x | ≤ 1 0 , | x | > 1 {\displaystyle k_{E}(x)={\begin{cases}{\frac {3}{4}}(1-x^{2})&,|x|\leq 1\\0&,|x|>1\end{cases}}} ↑ V. A. Epanechnikov: Non-Parametric Estimation of a Multivariate Probability Density . In: Theory of Probability and its Applications , 1969, S. 156