Fakultätenreihe – Wikipedia
Der Begriff der Fakultätenreihe (englisch factorial series) entstammt der Mathematik. Die Fakultätenreihen zählen zu den Funktionenreihen und stehen in enger Verwandtschaft mit den Dirichletreihen. Sie sind nicht zuletzt von besonderer Bedeutung beim Studium von Differenzengleichungen.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ist eine Folge von reellen oder komplexen Zahlen gegeben, so ist die Funktionenreihe
mit die (zu der Folge gehörige) Fakultätenreihe.[1][2][3]
Dabei wird von manchen Autoren angenommen, dass das Anfangsglied ist.[4][5] Andere Autoren lassen dagegen sogar zu, dass zu obigem noch ein reelle oder komplexe Konstante hinzuaddiert wird und bezeichnen die so gegebene Funktionenreihe ebenfalls als Fakultätenreihe.[6] Alle diese Auffassungen des Begriffs der Fakultätenreihe sind im Wesentlichen gleichwertig.
Konvergenzverhalten
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Über das Konvergenzverhalten der Fakultätenreihen geben einige Sätze Auskunft, welche nicht zuletzt auf Mathematiker wie Edmund Landau, Johan Ludwig Jensen, Salvatore Pincherle und Niels Erik Nørlund zurückgehen.
Der Satz von Landau
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Dieser von Edmund Landau gefundene Satz bringt die Frage nach dem Konvergenzverhalten der Fakultätenreihen in Zusammenhang mit der entsprechenden Frage für die Dirichletreihen. Er besagt nämlich:[7][4][8]
- Die oben beschriebene Fakultätenreihe und die zugehörige Dirichletreihe
- haben innerhalb des Gebietes das gleiche Konvergenzverhalten. Dabei gilt im Einzelnen:
- (I) Die beiden Reihen und sind für ein und dieselben konvergent und divergent.
- (II) Ist auf einer abgeschlossenen Kreisscheibe gleichmäßig konvergent, so gilt dies auch für und nur dann.
Die Sätze von Jensen und Pincherle
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Der Satz von Jensen (nach Johan Ludwig Jensen) behandelt die Frage nach der Beschaffenheit des Konvergenzbereichs der Fakultätenreihen. Er besagt folgendes:[9][10]
- Zu einer Fakultätenreihe gibt es stets eine – auch als Konvergenzabszisse[11] bezeichnete – endliche oder unendliche Zahl derart, dass für jede komplexe Zahl des Gebietes divergiert und für jede komplexe Zahl des Gebiets konvergiert. Das Konvergenzgebiet[12] einer Fakultätenreihe ist also eine nach rechts offene Halbebene, aus der (gegebenenfalls) die Null und die negativen ganzen Zahlen entfernt wurden.[13]
Der Satz von Pincherle (nach Salvatore Pincherle) behandelt die entsprechende Frage in Hinblick auf die absolute Konvergenz der Fakultätenreihen und lässt sich angeben wie folgt:[9][14]
- Das Gebiet der absoluten Konvergenz einer Fakultätenreihe ist ebenfalls eine nach rechts offene Halbebene, aus der (gegebenenfalls) die Null und die negativen ganzen Zahlen entfernt wurden. Zu einer Fakultätenreihe gibt es also stets eine – auch als Abszisse der absoluten Konvergenz[15] bezeichnete – endliche oder unendliche Zahl derart, dass im Gebiet absolut konvergent ist. Dabei ist für jede komplexe Zahl mit zwar konvergent, aber nicht absolut konvergent. Die Breite des zwischen den beiden Abzissen gelegenen unendlichen Streifens ist höchstens ; es gilt also die Ungleichung .
Der Satz von Nørlund
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Diesen Satz hat Niels Erik Nørlund gefunden und damit in der Frage der gleichmäßigen Konvergenz von Fakultätenreihen Klarheit geschaffen. Der Satz lässt sich folgendermaßen formulieren:[16][17]
- Die Fakultätenreihe konvergiere in einem Punkte . Weiterhin sei eine beliebige positive Zahl gegeben und dazu das im Punkte verankerte, nach rechts geöffnete Winkelfeld , dessen beiden Schenkel durch zwei -Radiant-Drehungen aus den beiden von ausgehenden, zur reellen Achse senkrechten Halbgeraden hervorgehen.[18]
- Dann gilt:
- ist auf dem Winkelfeld stets gleichmäßig konvergent.
Analogon
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Wie G. M. Fichtenholz in seiner Differential- und Integralrechnung II ausführt, sind – einem Satz von Konrad Knopp zufolge – hinsichtlich des Konvergenzverhaltens die Beziehungen zwischen einer Fakultätenreihe und ihrer Dirichletreihe ähnlich denen, welche zwischen einer Lambert-Reihe und der dieser Lambert-Reihe zugehörigen Potenzreihe bestehen.[19]
Holomorphie
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die durch Fakultätenreihen gegebenen komplexen Funktionen weisen – in gleicher Weise wie die durch die zugehörigen Dirichletreihen gegebenen komplexen Funktionen – einige Regularitätseigenschaften auf. Dies beruht auf einer Verknüpfung des weierstraßschen Konvergenzsatzes mit dem Satz von Nørlund.[20] Insgesamt gilt der folgende Satz:[21][22][23]
- Zu einer wie oben gegebenen Fakultätenreihe wird durch die Zuordnung auf der Konvergenzhalbebene eine holomorphe Funktion definiert. Diese (ebenfalls mit bezeichnete Funktion) hat die folgende Ableitungsfunktion:
- .
Weitere Darstellungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Fakultätenreihen lassen sich auch mit Hilfe der Gammafunktion und der eulerschen Betafunktion darstellen. Es gilt nämlich:[3][24]
- Eine wie oben gegebene Fakultätenreihe erfüllt stets die Gleichungen:
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II. Übersetzung aus dem Russischen und wissenschaftliche Redaktion: Dipl.-Math. Brigitte Mai, Dipl.-Math. Walter Mai (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 62). 6. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1974.
- Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 2). 5., berichtigte Auflage. Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York 1964, ISBN 3-540-03138-3 (MR0183997).
- Edmund Landau: Über die Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen. In: Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften. Band 36, 1906, S. 151–218.
- Edmund Landau: Bemerkung zu meinem Aufsatze: Über die Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen. In: Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften. Band 39, 1909, S. 7–10.
- L. M. Milne-Thomson: The Calculus of Finite Differences. Re-issued by arrangemant with The Macmillan Press. 2., unveränderte Auflage. Chelsea Publishing Company, New York 1981, ISBN 0-8284-0308-2, X (MR0185152).
- Niels Nielsen: Die Gammafunktion. Band I: Handbuch der Theorie der Gammafunktion. Dritter Teil: Theorie der Fakultätenreihen. Chelsea Publishing Company, Bronx, New York 1965, XVII (MR0043339).
- Niels Erik Nörlund: Vorlesungen über Differenzenrechnung (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 13). Springer Verlag, Berlin 1924, ISBN 978-3-642-50514-0, Kap. 9, doi:10.1007/978-3-642-50824-0_10 (MR1549596).
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ E. Landau: Über die Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen. Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften 36, S. 151 ff
- ↑ L. M. Milne-Thomson: The Calculus of Finite Differences. 1981, S. 271 ff
- ↑ a b Niels Nielsen: Handbuch der Theorie der Gammafunktion. Kapitel XVII 1965, S. 237 ff
- ↑ a b G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II. 1974, S. 322
- ↑ Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 1964, S. 462 ff
- ↑ Niels Erik Nörlund: Vorlesungen über Differenzenrechnung. 1924, S. 256 ff
- ↑ E. Landau: Über die Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen. Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften 36, S. 167
- ↑ Knopp, op. cit., S. 462
- ↑ a b Nielsen, op. cit., S. 245
- ↑ L. M. Milne-Thomson, op. cit., S. 275 ff
- ↑ (englisch abscissa of convergence)
- ↑ (englisch region of convergence)
- ↑ Im Grenzfall ist das Konvergenzgebiet die leere Menge. Dennoch greift man auch hier den Terminus Gebiet zurück. Genauso spricht man in dem anderen Grenzfall , obwohl hier das Konvergenzgebiet das gesamte Gebiet ist, also eine unendlich oft punktierte Ebene, auch von einer Halbebene.
- ↑ Milne-Thomson, op. cit., S. 276
- ↑ (englisch abscissa of absolute convergence)
- ↑ Nörlund, op. cit., S. 258
- ↑ L. M. Milne-Thomson, op. cit., S. 284–287
- ↑ Die Winkel werden hier im Bogenmaß angegeben. Der Punkt ist sowohl Drehzentrum der beiden Drehungen als auch Scheitelpunkt des durch das Winkelfeld bestimmten Winkels, welcher beträgt. Bei den beiden Drehungen wird die untere Halbgerade durch Drehung um den Winkel in mathematisch positiver Drehrichtung in den unteren Schenkel des Winkelfeldes überführt und die obere Halbgerade durch Drehung um den Winkel in mathematisch negativer Drehrichtung in den oberen Schenkel.
- ↑ Fichtenholz, op. cit., S. 323
- ↑ Der Satz von Nørlund zieht nach sich, dass eine Fakultätenreihe in jedem Punkt ihres Konvergenzgebiets lokal gleichmäßig konvergent ist.
- ↑ E. Landau: Bemerkung zu meinem Aufsatze: Über die Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen. Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften 39, S. 7
- ↑ Nörlund, op. cit., S. 258, S. 262 ff
- ↑ Milne-Thomson, op. cit., S. 287, S. 297
- ↑ Milne-Thomson, op. cit., S. 287–288