Fixpunktsatz für ganze Funktionen – Wikipedia
Der Fixpunktsatz für ganze Funktionen ist ein Lehrsatz der Komplexen Analysis, welcher auf eine Arbeit des französischen Mathematikers Pierre Fatou aus dem Jahr 1926 zurückgeht[1][2]. Er wurde von dem amerikanischen Mathematiker Paul C. Rosenbloom im Jahr 1948 wiederentdeckt[3] und in der Folge weiter verallgemeinert.[4]
Der Satz ergibt sich als Folgerung aus dem Kleinen Satz von Picard.[5][6]
Formulierung des Satzes
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]„Für eine ganze Funktion hat die verkettete Funktion stets einen Fixpunkt, es sei denn, ist eine Translation mit .“
Abgrenzung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Hingegen brauchen ganze Funktionen selbst keine Fixpunkte zu besitzen. Ein einfaches Beispiel hierfür liefert die Funktion , welche sicher „fixpunktfrei“ ist, da nämlich die komplexe Exponentialfunktion keine Nullstellen hat .
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Originalarbeiten
- Detlef Bargmann, Walter Bergweiler: Periodic points and normal families. In: Proc. Amer. Math. Soc. Band 129, 2001, S. 2881–2888 (MR1840089).
- Pierre Fatou: Sur l’itération des fonctions transcendantes Entières. In: Acta Math. Band 47, 1926, S. 337–370 (MR1555220).
- Paul C. Rosenbloom: L’itération des fonctions entières. In: C. R. Acad. Sci. Paris. Band 227, 1948, S. 382–383 (MR0026691).
- P. C. Rosenbloom: The fix-points of entire functions. In: Medd. Lunds Univ. Mat. Sem. Tome Supplémentaire. 1952, S. 186–192 (MR0051916).
Monographien
- Robert B. Burckel: An Introduction to Classical Complex Analysis. Birkhäuser Verlag, Basel [u. a.] 1979, ISBN 3-7643-0989-X.
- Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2 (= Springer-Lehrbuch – Grundwissen Mathematik). 3., neu bearbeitete Auflage. Springer Verlag, Berlin [u. a.] 2007, ISBN 978-3-540-40432-3.
Weblink
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Fatou: Sur l’itération des fonctions transcendantes Entières. In: Acta Math. Band 47, S. 345.
- ↑ Burckel: S. 433, 458, 559.
- ↑ Rosenbloom: L’itération des fonctions entières. In: C. R. Acad. Sci. Paris. Band 227, S. 382–383.
- ↑ Rosenbloom: The fix-points of entire functions. In: Medd. Lunds Univ. Mat. Sem. Tome Supplémentaire. 1952, S. 186 ff.
- ↑ Burckel: S. 433.
- ↑ Remmert, Schumacher: S. 233–234.