In der algebraischen Geometrie, insbesondere der Theorie der Schemata, ist ein flacher Morphismus ein Morphismus
von Schemata, sodass für jeden Punkt
der induzierte Homomorphismus von lokalen Ringen
flach ist.
Flache Morphismen werden häufig verwendet, um geometrische Objekte in Familien zu setzen. Beispiele hierfür sind Hilbert-Schemata, reduktive Gruppenschemata und abelsche Schemata.
Ein Morphismus von Schemata
heißt flach, falls für jeden Punkt
der induzierte Homomorphismus von lokalen Ringen
flach ist. Das heißt, dass
ein flacher
-Modul ist.
Für einen Morphismus von Schemata
sind die folgenden Bedingungen äquivalent:[1]
ist flach im Sinne der in diesem Abschnitt gegebenen Definition. - Für jede affine offene Teilmenge
und jede affine offene Teilmenge
mit
ist der
-Modul
flach. - Es gibt eine offene Überdeckung
und offene Überdeckungen
, sodass jede Einschränkung
für
flach im Sinne obiger Definition ist. - Es gibt eine affine offene Überdeckung
und affine offene Überdeckungen
, sodass jeder Ringhomomorphismus
für
flach ist.
- Die Komposition zweier flacher Morphismen von Schemata ist flach.[2]
- Ist
ein flacher Morphismus von Schemata und
ein beliebiger Morphismus, so ist der Basiswechsel
flach.[3]
- Ist
ein flacher Ringhomomorphismus, so ist der induzierte Homomorphismus affiner Schemata
flach. - Der Strukturmorphismus des affinen Raums
und des projektiven Raums
ist flach.
für
ist nicht flach, da
kein torsionsfreier
-Modul ist.
- ↑ 01U5
- ↑ 01U7
- ↑ 01U9