Fluss eines Vektorfeldes – Wikipedia
In der Mathematik beschreibt der Fluss eines Vektorfeldes die Bewegung entlang der Lösungskurven der durch das Vektorfeld gegebenen gewöhnlichen Differentialgleichung.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Sei ein -Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge (oder allgemeiner auf einer offenen Teilmenge einer Mannigfaltigkeit). Nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen gibt es für jedes eine eindeutige maximale Lösung
der Differentialgleichung
- .
Hierbei ist das (eventuell unendliche) maximale Intervall, auf dem eine Lösung definiert ist. Wir bezeichnen diese vom Startwert abhängende Kurve mit .
Sei . Dann heißt die durch
gegebene Abbildung der Fluss des Vektorfeldes .
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Irrotationalfield.svg/220px-Irrotationalfield.svg.png)
Der Fluss eines Vektorfeldes ist ein Fluss, d. h. eine einparametrige Transformationsgruppe. Es gilt also
und
für alle .
Beispiel
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Der Fluss des auf dem definierten Vektorfeldes
ist gegeben durch
- .
Vollständige Vektorfelder
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Das Vektorfeld heißt ein vollständiges Vektorfeld, wenn sein Fluss für alle Zeiten definiert, also
für alle , oder äquivalent ist.
Vektorfelder mit kompaktem Träger sind stets vollständig. Dies gilt insbesondere für Vektorfelder auf kompakten Mannigfaltigkeiten.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- John Lee: „Introduction to smooth manifolds“, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-21752-9
- Vladimir Arnold: „Ordinary differential equations“, Universitext, Springer, ISBN 978-3-540-34563-3
Weblinks
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Flow of a Vectorfield (nLab)