Higgs-Primzahl – Wikipedia
In der Zahlentheorie ist eine Higgs-Primzahl für die Potenz a eine Primzahl , bei der die -te Potenz des Produkts aller kleineren Higgs-Primzahlen teilt. Algebraisch bedeutet das bei gegebener Potenz , dass die Higgs-Primzahl folgende Bedingung erfüllt:
wobei die Eulersche Phi-Funktion ist (sie gibt für jede natürliche Zahl an, wie viele zu teilerfremde natürliche Zahlen es gibt, die nicht größer als sind; bei Primzahlen ist ).
Die Higgs-Primzahlen wurden nach dem britischen Mathematiker Denis Higgs benannt.
Beispiele
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Die ersten Higgs-Primzahlen für die Potenz (also für Quadrate) sind die folgenden:
- Die Zahl ist eine Higgs-Primzahl für die Potenz , weil das Quadrat des Produkts der kleineren Higgs-Primzahlen, also die Zahl als Teiler hat (es ist ).
- Die Zahl ist keine Higgs-Primzahl für die Potenz : das Quadrat des Produkts der kleineren Higgs-Primzahlen, also hat die Zahl nicht als Teiler (es bleibt Rest).
- Die Zahl ist eine Higgs-Primzahl für die Potenz , weil die -te Potenz des Produkts der kleineren Higgs-Primzahlen, also die Zahl als Teiler hat (es ist ).
- Bei höheren Potenzen sind immer mehr Primzahlen auch gleichzeitig Higgs-Primzahlen, sodass es sinnvoll erscheint, diejenigen Primzahlen anzugeben, welche nicht gleichzeitig Higgs-Primzahlen sind. Die folgende Tabelle gibt diese „Nicht-Higgs-Primzahlen“ bei gegebener Potenz bis zur 100. Higgs-Primzahl zur jeweiligen Potenz an:
Exponent | 100. Higgs- Primzahl | keine Higgs-Primzahlen für die Potenz bis zur 100. Higgs-Primzahl dieser Potenz |
---|---|---|
2 | 1117 | 17, 41, 73, 83, 89, 97, 103, 109, 113, 137, 163, 167, 179, 193, 227, 233, 239, 241, 251, 257, 271, 281, 293, 307, 313, 337, 353, 359, 379, 389, 401, 409, 433, 439, 443, 449, 457, 467, 479, 487, 499, 503, 521, 541, 563, 569, 577, 587, 593, 601, 613, 617, 619, 641, 647, 653, 673, 719, 739, 751, 757, 761, 769, 773, 809, 811, 821, 823, 857, 877, 881, 887, 919, 929, 937, 953, 971, 977, 997, 1009, 1021, 1031, 1033, 1049, 1069, 1091, 1097 (insgesamt 87 Primzahlen) |
3 | 733 | 17, 97, 103, 113, 137, 163, 193, 227, 239, 241, 257, 307, 337, 353, 389, 401, 409, 433, 443, 449, 479, 487, 577, 593, 613, 619, 641, 647, 653, 673 (insgesamt 30 Primzahlen) |
4 | 593 | 97, 193, 257, 353, 389, 449, 487, 577 (insgesamt 8 Primzahlen) |
5 | 563 | 193, 257, 449 |
6 | 547 | 257 |
7 | 547 | 257 |
8 | 541 | --- |
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Für die Potenz gibt es nur vier Higgs-Primzahlen:
- 2, 3, 7, 43
- Beweis:
- Angenommen, es gibt eine Primzahl (die nächste ist ), welche eine Higgs-Primzahl für die Potenz ist. Dann muss ein Teiler aller vorherigen Higgs-Primzahlen für die Potenz , also von sein. Dies kann aber nicht der Fall sein, weil kein Teiler der kleineren Zahl sein kann. Somit scheiden alle Primzahlen aus. Alle Primzahlen scheiden durch einfache Computer-Berechnungen aus.
- Alle bekannten Fermatschen Primzahlen sind keine Higgs-Primzahlen für die -ten Potenzen mit .
- Beweis:
- Man kann mittels Computer-Einsatz relativ schnell berechnen, dass
- die erste Fermatsche Primzahl keine Higgs-Primzahl für ist.
- die zweite Fermatsche Primzahl keine Higgs-Primzahl für ist.
- die dritte Fermatsche Primzahl keine Higgs-Primzahl für ist.
- die vierte Fermatsche Primzahl keine Higgs-Primzahl für ist.
- die fünfte und letzte bekannte Fermatsche Primzahl keine Higgs-Primzahl für ist.
- Man kann mittels Computer-Einsatz relativ schnell berechnen, dass
- Beweis:
- Etwa ein Fünftel der Primzahlen unter einer Million sind Higgs-Primzahlen.[1]
- Die Entdecker dieser Eigenschaft folgerten daraus, dass, selbst wenn die Anzahl der Higgs-Primzahlen für die Potenz endlich ist, „eine Computerzählung nicht möglich ist“.
Ungelöste Probleme
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Es ist nicht bekannt, ob unendlich viele Higgs-Primzahlen für Exponenten existieren.
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Stanley Burris, Simon Lee: Tarski's high school identities. American Mathematical Monthly 100 (3), 1993, S. 231–236, abgerufen am 2. Juli 2018.