Die lemniskatische Konstante ist eine 1798 von Carl Friedrich Gauß eingeführte mathematische Konstante . Sie ist definiert als der Wert des elliptischen Integrals
ϖ = 2 ∫ 0 1 d t 1 − t 4 {\displaystyle \varpi =2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}} A062539 in OEIS )und tritt bei der Berechnung der Bogenlänge der gesamten Lemniskate von Bernoulli auf. Derzeit (Stand: 18. Juli 2022) sind 1.200.000.000.100 Nachkommastellen der lemniskatischen Konstante bekannt. Sie wurden von Seungmin Kim berechnet.[ 1]
Die Lemniskatische Konstante ist das Verhältnis des Umfangs zum maximalen Durchmesser bei der Lemniskate von Bernoulli! Gauß wählte für die lemniskatische Konstante bewusst die griechische Minuskel ϖ {\displaystyle \varpi } π {\displaystyle \pi } Kreis mit seinem halben Umfang
π = 2 ∫ 0 1 d t 1 − t 2 {\displaystyle \pi =2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}} zu erinnern. Den Ursprung dieser Bezeichnung bei Gauß klärte vermutlich zuerst Ludwig Schlesinger auf: Zunächst verwendete Gauß zur Bezeichnung der lemniskatischen Periode das Zeichen Π {\displaystyle \Pi } ϖ 2 {\displaystyle {\tfrac {\varpi }{2}}}
Im Englischen findet sich für die Minuskel ϖ {\displaystyle \varpi } pomega, ein Kofferwort aus den Buchstabennamen für π und ω.
Im englischen Sprachraum wird
G = ϖ / π {\displaystyle G=\varpi /\pi } A014549 in OEIS )als Gaußkonstante bezeichnet.
Folgende kartesische Koordinatengleichung ist für die Lemniskate von Bernoulli mit der Brennweite f gültig:
( x 2 + y 2 ) 2 = 2 f 2 ( x 2 − y 2 ) {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2f^{2}(x^{2}-y^{2})} Daraus resultiert nachfolgende Parametergleichung für die Lemniskate mit dieser Brennweite:
x ( t ) = 2 f sin ( t ) cos ( t ) 2 + 1 ∩ y ( t ) = 2 f sin ( t ) cos ( t ) cos ( t ) 2 + 1 mit 0 ≤ t < 2 π {\displaystyle x(t)={\frac {{\sqrt {2}}f\sin(t)}{\cos(t)^{2}+1}}\quad \cap \quad y(t)={\frac {{\sqrt {2}}f\sin(t)\cos(t)}{\cos(t)^{2}+1}}\quad {\text{ mit }}\ 0\leq t<2\pi } Für das gegebene Intervall von t wird die gesamte Kurve der Lemniskate genau einmal parametrisiert. Der Umfang wird durch Integration von denselben Grenzen für t von der Pythagoräischen Summe der ersten Ableitungen bezüglich t berechnet:
U = ∫ 0 2 π ( d d t x ( t ) ) 2 + ( d d t y ( t ) ) 2 d t = ∫ 0 2 π ( d d t ⋅ 2 f sin ( t ) cos ( t ) 2 + 1 ) 2 + ( d d t ⋅ 2 f sin ( t ) cos ( t ) cos ( t ) 2 + 1 ) 2 d t = ∫ 0 2 π ( 2 f cos ( t ) [ 3 − cos ( t ) 2 ] [ cos ( t ) 2 + 1 ] 2 ) 2 + ( 2 f [ 3 cos ( t ) 2 − 1 ] [ cos ( t ) 2 + 1 ] 2 ) 2 d t = ∫ 0 2 π 2 f cos ( t ) 2 + 1 d t = 4 ∫ 0 π / 2 2 f cos ( t ) 2 + 1 d t = 4 ∫ 0 π / 2 2 f sin ( t ) 2 + 1 d t = 4 ∫ 0 1 [ d d x arcsin ( x ) ] 2 f 1 + x 2 d x = 4 ∫ 0 1 2 f 1 − x 4 d x {\displaystyle {\begin{aligned}U&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t){\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}y(t){\biggr )}^{2}}}\ \mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {{\sqrt {2}}f\sin(t)}{\cos(t)^{2}+1}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {{\sqrt {2}}f\sin(t)\cos(t)}{\cos(t)^{2}+1}}{\biggr )}^{2}}}\ \mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {{\biggl (}{\frac {{\sqrt {2}}f\cos(t)[3-\cos(t)^{2}]}{[\cos(t)^{2}+1]^{2}}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {{\sqrt {2}}f[3\cos(t)^{2}-1]}{[\cos(t)^{2}+1]^{2}}}{\biggr )}^{2}}}\ \mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {{\sqrt {2}}f}{\sqrt {\cos(t)^{2}+1}}}\ \mathrm {d} t=4\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\sqrt {2}}f}{\sqrt {\cos(t)^{2}+1}}}\ \mathrm {d} t=4\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\sqrt {2}}f}{\sqrt {\sin(t)^{2}+1}}}\ \mathrm {d} t\\&=4\int _{0}^{1}{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arcsin(x){\biggr ]}{\frac {{\sqrt {2}}f}{\sqrt {1+x^{2}}}}\ \mathrm {d} x=4\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {2}}f}{\sqrt {1-x^{4}}}}\ \mathrm {d} x\end{aligned}}} Der maximale Durchmesser der Lemniskate von Bernoulli beträgt 2 2 f {\displaystyle 2{\sqrt {2}}f}
ϖ = U 2 2 f = 2 ∫ 0 1 1 1 − x 4 d x {\displaystyle \varpi ={\frac {U}{2{\sqrt {2}}f}}=2\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x} Mit der Eulerschen Betafunktion B {\displaystyle \mathrm {B} } Gammafunktion Γ {\displaystyle \Gamma }
ϖ = 1 4 2 B ( 1 4 , 1 4 ) = 1 2 B ( 1 4 , 1 2 ) = Γ ( 1 4 ) 2 / ( 2 2 π ) . {\displaystyle \varpi ={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}\,\mathrm {B} ({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{4}})={\tfrac {1}{2}}\,\mathrm {B} ({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}})=\Gamma ({\tfrac {1}{4}})^{2}/{\bigl (}2{\sqrt {2\pi }}{\bigr )}.} Deswegen gilt auch das Folgende:
∫ 0 ∞ e − x 4 d x = π 4 ⋅ ϖ 2 ⋅ 2 4 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x^{4}}\mathrm {d} x={\frac {{\sqrt[{4}]{\pi }}\cdot {\sqrt {\varpi }}}{2\cdot {\sqrt[{4}]{2}}}}} Ebenso kann die lemniskatische Konstante mit der Ableitung der Dirichletschen Betafunktion auf folgende zwei Weisen dargestellt werden:
ϖ = π 1 / 2 exp [ β ′ ( 0 ) ] {\displaystyle \varpi =\pi ^{1/2}\exp {\bigl [}\beta '(0){\bigr ]}} ϖ = 2 − 1 / 2 π exp [ 1 2 γ − 2 π β ′ ( 1 ) ] {\displaystyle \varpi =2^{-1/2}\pi \exp \left[{\frac {1}{2}}\,\gamma -{\frac {2}{\pi }}\beta '(1)\right]} Das Kürzel γ {\displaystyle \gamma } Euler-Mascheroni-Konstante aus.
Dabei gilt nach der Abel-Plana-Formeldefinition für die Dirichletsche Betafunktion:
β ( x ) = 1 2 + ∫ 0 ∞ sin [ x arctan ( y ) ] 2 ( y 2 + 1 ) x / 2 csch ( π 2 y ) d y {\displaystyle \beta (x)={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[x\arctan(y)]}{2\,(y^{2}+1)^{x/2}}}\operatorname {csch} {\bigl (}{\frac {\pi }{2}}\,y{\bigr )}\,\mathrm {d} y} Und somit gilt für die Ableitung der Dirichletschen Betafunktion:
β ′ ( x ) = ∫ 0 ∞ 2 arctan ( y ) cos [ x arctan ( y ) ] − ln ( y 2 + 1 ) sin [ x arctan ( y ) ] 4 ( y 2 + 1 ) x / 2 csch ( π 2 y ) d y {\displaystyle \beta '(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(y)\cos[x\arctan(y)]-\ln(y^{2}+1)\sin[x\arctan(y)]}{4\,(y^{2}+1)^{x/2}}}\operatorname {csch} {\bigl (}{\frac {\pi }{2}}\,y{\bigr )}\,\mathrm {d} y} Gauß fand die Beziehung
ϖ = π / agm ( 1 ; 2 ) {\displaystyle \varpi =\pi /\operatorname {agm} (1;{\sqrt {2}})} mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel agm und gab auch eine schnell konvergierende Reihe
ϖ = π 2 ∑ k = 0 ∞ ( 2 k k ) 2 1 2 5 k {\displaystyle \varpi ={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}^{\!2}{\frac {1}{2^{5k}}}} mit Summanden der Größenordnung 1 k 2 k {\displaystyle {\frac {1}{k2^{k}}}}
Außerdem erkannte Carl Friedrich Gauß folgenden Zusammenhang:
ϖ = 4 arcsl ( 1 2 ) + 2 arcsl ( 7 23 ) {\displaystyle \varpi =4\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{2}})+2\operatorname {arcsl} ({\tfrac {7}{23}})} ϖ = ∑ k = 0 ∞ ( 2 k k ) 1 4 k ( 4 k + 1 ) [ 4 ( 1 2 ) 4 k + 1 + 2 ( 7 23 ) 4 k + 1 ] {\displaystyle \varpi =\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}{\frac {1}{4^{k}(4k+1)}}{\biggl [}4\left({\frac {1}{2}}\right)^{4k+1}+2\left({\frac {7}{23}}\right)^{4k+1}{\biggr ]}} Dabei wird mit arcsl {\displaystyle \operatorname {arcsl} } Lemniskatische Arkussinus ausgedrückt.
Weitere Arcussinus-Lemniscatus-Summen von diesem Schema können so erzeugt werden:
ϖ = 4 arcsl ( a ) + 2 arcsl { tan [ 1 4 π − 2 arctan ( a 2 ) ] } {\displaystyle \varpi =4\operatorname {arcsl} (a)+2\operatorname {arcsl} \{\tan[{\tfrac {1}{4}}\pi -2\arctan(a^{2})]\}} 0 ≤ a ≤ 1 {\displaystyle 0\leq a\leq 1} Die Auswertung
ϖ = 2 ∑ k = 0 ∞ ( 2 k k ) 1 ( 4 k + 1 ) 2 2 k {\displaystyle \varpi =2\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}{\frac {1}{(4k+1)2^{2k}}}} des elliptischen Integrals ergibt eine ähnliche Reihe, die jedoch sehr viel langsamer konvergiert, da die Glieder von der Größenordnung 1 k 3 / 2 {\displaystyle {\frac {1}{k^{3/2}}}}
ϖ = π [ ∑ k = − ∞ ∞ ( − 1 ) k e − π k 2 ] 2 = π 2 [ ∑ k = − ∞ ∞ e − π k 2 ] 2 {\displaystyle \varpi =\pi {\biggl [}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}\,e^{-\pi k^{2}}{\biggr ]}^{2}={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}{\biggl [}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\,e^{-\pi k^{2}}{\biggr ]}^{2}} mit Summanden der Größenordnung e − π k 2 {\displaystyle e^{-\pi k^{2}}}
Auch sehr schnell konvergiert folgende Reihe:
ϖ = π 2 ∑ k = − ∞ ∞ sech ( π k ) {\displaystyle \varpi ={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (\pi k)} Niels Nielsen stellte 1906 mit Hilfe der Kummerschen Reihe der Gammafunktion einen Zusammenhang mit der Eulerschen Konstante γ {\displaystyle \gamma } [ 2]
log ϖ = 1 2 γ − 1 2 log 2 + log π + 2 π ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k log ( 2 k + 1 ) 2 k + 1 {\displaystyle \log \varpi ={\tfrac {1}{2}}\gamma -{\tfrac {1}{2}}\log 2+\log \pi +{\frac {2}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\log(2k+1)}{2k+1}}} Theodor Schneider bewies 1937 die Transzendenz von ϖ {\displaystyle \varpi } [ 3] Gregory Chudnovsky zeigte 1975, dass Γ ( 1 / 4 ) {\displaystyle \Gamma (1/4)} ϖ {\displaystyle \varpi } algebraisch unabhängig von π {\displaystyle \pi } [ 4] [ 5]
Analog zum Wallisschen Produkt lassen sich für die lemniskatische Konstante folgende Produktreihen entwickeln:
ϖ = 2 ∏ k = 0 ∞ ( 4 k + 3 ) ( 4 k + 4 ) ( 4 k + 2 ) ( 4 k + 5 ) = 2 ∏ k = 0 ∞ ( 4 k + 2 ) ( 4 k + 4 ) ( 4 k + 1 ) ( 4 k + 5 ) {\displaystyle \varpi =2\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+3)(4k+4)}{(4k+2)(4k+5)}}={\sqrt {2}}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+2)(4k+4)}{(4k+1)(4k+5)}}} Folgende Produktreihen konvergieren sehr schnell:
ϖ = π ∏ k = 1 ∞ tanh ( π k / 2 ) 2 = π 2 4 ∏ k = 1 ∞ tanh ( π k ) 2 {\displaystyle \varpi =\pi \prod _{k=1}^{\infty }\tanh(\pi k/2)^{2}={\frac {\pi }{\sqrt[{4}]{2}}}\prod _{k=1}^{\infty }\tanh(\pi k)^{2}} Lemniskatisch elliptische Integrale Mit dem vollständigen elliptischen Integral erster Art lässt sich die lemniskatische Konstante auf verschiedene Weise darstellen:
ϖ = 2 K ( 1 2 ) = 4 ( 2 − 1 ) K [ ( 2 − 1 ) 2 ] = 27 4 ( 3 − 1 ) K [ 1 2 ( 3 − 1 ) ( 2 − 3 4 ) ] = {\displaystyle \varpi ={\sqrt {2}}K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)=4({\sqrt {2}}-1)K[({\sqrt {2}}-1)^{2}]={\sqrt[{4}]{27}}({\sqrt {3}}-1)K\left[{\frac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})\right]=} = 8 ( 2 + 1 ) 2 ( 2 4 − 1 ) 2 K [ ( 2 + 1 ) 2 ( 2 4 − 1 ) 4 ] = 5 2 ( 5 − 2 ) K [ 1 2 ( 5 − 2 ) ( 3 − 2 5 4 ) ] {\displaystyle =8({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{2}K[({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{4}]=5{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-2)K\left[{\frac {1}{\sqrt {2}}}({\sqrt {5}}-2)(3-2{\sqrt[{4}]{5}})\right]} Die lemniskatische Konstante kann auch ausschließlich mit Ellipsenumfängen und somit mit elliptischen Integralen zweiter Art dargestellt werden:
ϖ = ( 2 + 2 ) E [ ( 2 − 1 ) 2 ] − 2 E ( 1 2 ) = {\displaystyle \varpi =(2+{\sqrt {2}})E[({\sqrt {2}}-1)^{2}]-2E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)=} = 3 2 ( 2 2 + 6 − 27 4 − 3 4 ) E [ 1 2 ( 3 − 1 ) ( 2 − 3 4 ) ] − 1 2 ( 3 3 4 + 27 4 − 3 2 ) E ( 1 2 ) {\displaystyle ={\frac {3}{2}}(2{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}-{\sqrt[{4}]{27}}-{\sqrt[{4}]{3}})E\left[{\frac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})\right]-{\frac {1}{2}}(3{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{27}}-3{\sqrt {2}})E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)} Dabei ist E(k) das Verhältnis des Viertelumfangs zur längeren Halbachse bei derjenigen Ellipse, bei welcher die numerische Exzentrizität den Wert k annimmt.
Folgende weitere Integrale involvieren die lemniskatische Konstante:
∫ 0 1 1 x 4 + 1 d x = ϖ 2 2 {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}} ∫ 0 1 1 ( 1 − x 4 ) 3 / 4 d x = ϖ 2 {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{(1-x^{4})^{3/4}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}} ∫ 0 1 1 ( 1 − x 2 ) 3 / 4 d x = ϖ {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{(1-x^{2})^{3/4}}}\,\mathrm {d} x=\varpi } ∫ 0 ∞ sech ( x ) d x = ϖ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\sqrt {\operatorname {sech} (x)}}\,\mathrm {d} x=\varpi } ∫ 0 π / 2 sec ( x ) d x = ϖ {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\operatorname {sec} (x)}}\,\mathrm {d} x=\varpi } Nach der Kettenregel gelten folgende vier Ableitungen:
d d x ( ∫ 0 1 x 1 − x 4 y 4 d y ) = 1 1 − x 4 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl (}\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y{\biggr )}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}} d d x ( ∫ 0 1 x 3 y 2 1 − x 4 y 4 d y ) = x 2 1 − x 4 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl (}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y{\biggr )}={\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}} d d x { y 2 + 1 2 y 2 [ artanh ( y 2 ) − artanh ( 1 − x 4 y 2 1 − x 4 y 4 ) ] } = x 3 ( y 2 + 1 ) ( 1 − x 4 ) ( 1 − x 4 y 4 ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl \{}{\frac {y^{2}+1}{2y^{2}}}{\biggl [}{\text{artanh}}{\bigl (}y^{2}{\bigr )}-{\text{artanh}}{\biggl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\biggr )}{\biggr ]}{\biggr \}}={\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}} d d y [ arctan ( y ) − 1 − y 2 2 y artanh ( y 2 ) ] = y 2 + 1 2 y 2 artanh ( y 2 ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}{\biggl [}\arctan(y)-{\frac {1-y^{2}}{2y}}{\text{artanh}}(y^{2}){\biggr ]}={\frac {y^{2}+1}{2y^{2}}}\operatorname {artanh} (y^{2})} Im Folgenden werden zwei Gleichungsketten synthetisiert und danach gleichgesetzt:
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung wird auf folgende Weise angewendet:
∫ 0 1 d d x ( ∫ 0 1 x 1 − x 4 y 4 d y ∫ 0 1 x 3 y 2 1 − x 4 y 4 d y ) d x = {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl (}\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y{\biggr )}\mathrm {d} x=} = [ ∫ 0 1 x 1 − x 4 y 4 d y ∫ 0 1 x 3 y 2 1 − x 4 y 4 d y ] x = 0 x = 1 = {\displaystyle ={\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y{\biggr ]}_{x=0}^{x=1}=} = ∫ 0 1 1 1 − y 4 d y ∫ 0 1 y 2 1 − y 4 d y = ϖ 2 ∫ 0 1 x 2 1 − x 4 d x {\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-y^{4}}}}\mathrm {d} y\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}}{\sqrt {1-y^{4}}}}\mathrm {d} y={\frac {\varpi }{2}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x} Das Produkt folgender zwei Integrale lässt sich dann mit der Produktregel und dem Satz von Fubini auf folgende Weise umformen:
∫ 0 1 d d x ( ∫ 0 1 x 1 − x 4 y 4 d y ∫ 0 1 x 3 y 2 1 − x 4 y 4 d y ) d x = {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl (}\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y{\biggr )}\mathrm {d} x=} = ∫ 0 1 ( 1 1 − x 4 ∫ 0 1 x 3 y 2 1 − x 4 y 4 d y + x 2 1 − x 4 ∫ 0 1 x 1 − x 4 y 4 d y ) d x = {\displaystyle =\int _{0}^{1}{\biggl (}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y+{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y{\biggr )}\mathrm {d} x=} = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 3 ( y 2 + 1 ) ( 1 − x 4 ) ( 1 − x 4 y 4 ) d y d x = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 3 ( y 2 + 1 ) ( 1 − x 4 ) ( 1 − x 4 y 4 ) d x d y = {\displaystyle =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=} = ∫ 0 1 ∫ 0 1 d d x { y 2 + 1 2 y 2 [ artanh ( y 2 ) − artanh ( 1 − x 4 y 2 1 − x 4 y 4 ) ] } d x d y = {\displaystyle =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl \{}{\frac {y^{2}+1}{2y^{2}}}{\biggl [}{\text{artanh}}{\bigl (}y^{2}{\bigr )}-{\text{artanh}}{\biggl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\biggr )}{\biggr ]}{\biggr \}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=} = ∫ 0 1 y 2 + 1 2 y 2 artanh ( y 2 ) d y = ∫ 0 1 d d y [ arctan ( y ) − 1 − y 2 2 y artanh ( y 2 ) ] d y = {\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{2y^{2}}}\operatorname {artanh} (y^{2})\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}{\biggl [}\arctan(y)-{\frac {1-y^{2}}{2y}}{\text{artanh}}(y^{2}){\biggr ]}\mathrm {d} y=} = [ arctan ( y ) − 1 − y 2 2 y artanh ( y 2 ) ] y = 0 y = 1 = arctan ( 1 ) = π 4 {\displaystyle ={\biggl [}\arctan(y)-{\frac {1-y^{2}}{2y}}{\text{artanh}}(y^{2}){\biggr ]}_{y=0}^{y=1}=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}} Denn nach der Regel von de L’Hospital gilt:
lim y → 0 1 − y 2 2 y artanh ( y 2 ) = 0 {\displaystyle \lim _{y\rightarrow 0}{\frac {1-y^{2}}{2y}}{\text{artanh}}(y^{2})=0} lim y → 1 1 − y 2 2 y artanh ( y 2 ) = 0 {\displaystyle \lim _{y\rightarrow 1}{\frac {1-y^{2}}{2y}}{\text{artanh}}(y^{2})=0} Durch Gleichsetzung der beiden aufgestellten Gleichungsketten folgt:
ϖ 2 ∫ 0 1 x 2 1 − x 4 d x = π 4 {\displaystyle {\frac {\varpi }{2}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{4}}} ∫ 0 1 x 2 1 − x 4 d x = π 2 ϖ {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2\varpi }}} Aus dem soeben gezeigten Endresultat lassen sich folgende Integrale herleiten:
∫ 0 1 x 4 + 1 ( x 2 + 1 ) 2 d x = 1 4 2 ( ϖ + π ϖ ) {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {x^{4}+1}}{(x^{2}+1)^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{4{\sqrt {2}}}}\left(\varpi +{\frac {\pi }{\varpi }}\right)} ∫ 0 1 x 2 ( x 4 + 1 ) 3 / 2 d x = π 4 2 ϖ {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{(x^{4}+1)^{3/2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{4{\sqrt {2}}\,\varpi }}} ∫ 0 1 1 ( 1 − x 2 ) 1 / 4 d x = π ϖ {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{(1-x^{2})^{1/4}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{\varpi }}} ∫ 0 ∞ sech ( x ) 3 d x = π ϖ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\sqrt {\operatorname {sech} (x)^{3}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{\varpi }}} Diese beiden elliptischen Integrale dritter Art sind zueinander identisch:
∫ 0 ∞ x 2 ( x 2 + 1 ) x 4 + 1 d x = ∫ 0 ∞ 1 ( x 2 + 1 ) x 4 + 1 d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{(x^{2}+1){\sqrt {x^{4}+1}}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(x^{2}+1){\sqrt {x^{4}+1}}}}\,\mathrm {d} x} In der Stammfunktion von der ersten Funktion bewirkt die Substitution von x durch die Kehrwertfunktion 1/x und die anschließende Negativsetzung die Bildung der Stammfunktion von der zweiten Funktion. Außerdem gilt folgende Aufsummierung:
∫ 0 ∞ x 2 ( x 2 + 1 ) x 4 + 1 d x + ∫ 0 ∞ 1 ( x 2 + 1 ) x 4 + 1 d x = ∫ 0 ∞ 1 x 4 + 1 d x = ϖ 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{(x^{2}+1){\sqrt {x^{4}+1}}}}\,\mathrm {d} x+\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(x^{2}+1){\sqrt {x^{4}+1}}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}} Daraus folgt:
∫ 0 ∞ x 2 ( x 2 + 1 ) x 4 + 1 d x = ϖ 2 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{(x^{2}+1){\sqrt {x^{4}+1}}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}} ∫ 0 ∞ 1 ( x 2 + 1 ) x 4 + 1 d x = ϖ 2 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(x^{2}+1){\sqrt {x^{4}+1}}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}} Wie bereits oben erwähnt ist diese Integralformel gültig:
Γ ( 5 4 ) = ∫ 0 ∞ exp ( − x 4 ) d x = 2 − 5 / 4 π 1 / 4 ϖ 1 / 2 {\displaystyle \Gamma ({\frac {5}{4}})=\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{4})\,\mathrm {d} x=2^{-5/4}\pi ^{1/4}\varpi ^{1/2}} Basierend auf dem Eulerschen Ergänzungssatz über die Gammafunktion hat folgendes Integralprodukt den nachfolgenden Wert:
[ ∫ 0 ∞ exp ( − x 4 ) d x ] [ ∫ 0 ∞ x 2 exp ( − x 4 ) d x ] = π 8 2 {\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{4})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{\infty }x^{2}\exp(-x^{4})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}={\frac {\pi }{8{\sqrt {2}}}}} Im Zusammenhang mit der Gammafunktion gilt somit jenes Integral:
1 4 Γ ( 3 4 ) = ∫ 0 ∞ x 2 exp ( − x 4 ) d x = 2 − 9 / 4 π 3 / 4 ϖ − 1 / 2 {\displaystyle {\frac {1}{4}}\Gamma ({\frac {3}{4}})=\int _{0}^{\infty }x^{2}\exp(-x^{4})\,\mathrm {d} x=2^{-9/4}\pi ^{3/4}\varpi ^{-1/2}} Ellipse mit den Werten: a = √2b und U = (2ϖ + 2π/ϖ)b Bei einer Ellipse, in welcher sich die größere Halbachse zur kleineren Halbachse in der Quadratwurzel aus Zwei verhält, nimmt das Verhältnis des Ellipsenumfangs zur kleineren Halbachse den Wert 2ϖ + 2π/ϖ an. Diese Tatsache wird im nun Folgenden bewiesen:
U / b = 4 2 E ( 1 2 ) = 4 ∫ 0 1 ( d d x 2 − 2 x 2 ) 2 + 1 d x = 4 ∫ 0 1 2 x 2 1 − x 2 + 1 d x = 4 ∫ 0 1 1 + x 2 1 − x 4 d x = {\displaystyle U/b=4{\sqrt {2}}E{\bigl (}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigr )}=4\int _{0}^{1}{\sqrt {{\bigl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\sqrt {2-2x^{2}}}{\bigr )}^{2}+1}}\,\mathrm {d} x=4\int _{0}^{1}{\sqrt {{\frac {2x^{2}}{1-x^{2}}}+1}}\,\mathrm {d} x=4\int _{0}^{1}{\frac {1+x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x=} = 4 ∫ 0 1 1 1 − x 4 d x + 4 ∫ 0 1 x 2 1 − x 4 d x = 2 ϖ + 2 π ϖ {\displaystyle =4\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x+4\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x=2\varpi +{\frac {2\pi }{\varpi }}} Somit gilt für diese Ellipse:
U = ( 2 ϖ + 2 π ϖ − 1 ) a = ( 2 ϖ + 2 π ϖ − 1 ) b {\displaystyle U=({\sqrt {2}}\varpi +{\sqrt {2}}\pi \varpi ^{-1})a=(2\varpi +2\pi \varpi ^{-1})b} In dieser Tabelle werden mehrere Ellipsen mit ihren Umfangsverhältnissen aufgelistet:
Kleinere Halbachse/Größere Halbachse Umfang/Größere Halbachse 1 2 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}} 2 ϖ + 2 π ϖ − 1 {\displaystyle {\sqrt {2}}\varpi +{\sqrt {2}}\pi \varpi ^{-1}} 2 2 4 ( 2 − 1 ) {\displaystyle 2{\sqrt[{4}]{2}}({\sqrt {2}}-1)} 2 ϖ + 2 ( 2 − 1 ) π ϖ − 1 {\displaystyle 2\varpi +2({\sqrt {2}}-1)\pi \varpi ^{-1}} 2 13 / 8 ( 2 + 1 ) 5 / 2 ( 2 4 − 1 ) 2 {\displaystyle 2^{13/8}({\sqrt {2}}+1)^{5/2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{2}} 2 ( 2 + 1 ) 2 ( 2 4 − 1 ) ϖ + 2 ( 2 + 1 ) 2 ( 2 4 − 1 ) 2 π ϖ − 1 {\displaystyle 2({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)\varpi +2({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{2}\pi \varpi ^{-1}}
Theodor Schneider : Einführung in die transzendenten Zahlen . Springer-Verlag, Berlin 1957, S. 64.Carl Ludwig Siegel : Transzendente Zahlen . Bibliographisches Institut, Mannheim 1967, S. 81–84.John Todd: The Lemniscate Constants . Institute of Technology, Kalifornien 1975 A. I. Markuschewitsch : Analytic Functions . Kapitel 2 in: A. N. Kolmogorov , A. P. Juschkewitsch (Hrsg.): Mathematics of the 19th Century. Geometry, analytic function theory . Birkhäuser, Basel 1996, ISBN 3-7643-5048-2 , S. 133–136.Jörg Arndt, Christoph Haenel: π. Algorithmen, Computer, Arithmetik . 2. Auflage, Springer, 2000, S. 94–96 (hier ist die griechische Minuskel ϖ typographisch korrekt wiedergegeben) Steven R. Finch: Gauss’ Lemniscate constant , Kapitel 6.1 in Mathematical constants , Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2 , S. 420–423 (englisch) Hans Wußing , Olaf Neumann: Mathematisches Tagebuch 1796–1814 von Carl Friedrich Gauß . Mit einer historischen Einführung von Kurt-R. Biermann . Ins Deutsche übertragen von Elisabeth Schuhmann. Durchgesehen und mit Anmerkungen versehen von Hans Wußing und Olaf Neumann. 5. Auflage, 2005, Eintrag [91a]. ↑ Alexander Jih-Hing Yee: Records set by y-cruncher. abgerufen am 18. Juli 2022 (englisch). ↑ Niels Nielsen : Handbuch der Theorie der Gammafunktion . Teubner, Leipzig 1906, S. 201 (der korrekte Faktor vor der Summe ist 2/π statt 2)↑ Theodor Schneider : Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale ↑ G. V. Choodnovsky : Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis , Notices of the AMS 22, 1975, S. A-486 (englisch; vorläufiger Bericht)↑ Gregory V. Chudnovsky : Contributions to the theory of transcendental numbers , American Mathematical Society, 1984, ISBN 0-8218-1500-8 , S. 8 (englisch) 
French
Deutsch
![{\displaystyle {\begin{aligned}U&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t){\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}y(t){\biggr )}^{2}}}\ \mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {{\sqrt {2}}f\sin(t)}{\cos(t)^{2}+1}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {{\sqrt {2}}f\sin(t)\cos(t)}{\cos(t)^{2}+1}}{\biggr )}^{2}}}\ \mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {{\biggl (}{\frac {{\sqrt {2}}f\cos(t)[3-\cos(t)^{2}]}{[\cos(t)^{2}+1]^{2}}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {{\sqrt {2}}f[3\cos(t)^{2}-1]}{[\cos(t)^{2}+1]^{2}}}{\biggr )}^{2}}}\ \mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {{\sqrt {2}}f}{\sqrt {\cos(t)^{2}+1}}}\ \mathrm {d} t=4\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\sqrt {2}}f}{\sqrt {\cos(t)^{2}+1}}}\ \mathrm {d} t=4\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\sqrt {2}}f}{\sqrt {\sin(t)^{2}+1}}}\ \mathrm {d} t\\&=4\int _{0}^{1}{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arcsin(x){\biggr ]}{\frac {{\sqrt {2}}f}{\sqrt {1+x^{2}}}}\ \mathrm {d} x=4\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {2}}f}{\sqrt {1-x^{4}}}}\ \mathrm {d} x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/212408b31ce04f332a1c68e6eca6f3620747e3be)
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x^{4}}\mathrm {d} x={\frac {{\sqrt[{4}]{\pi }}\cdot {\sqrt {\varpi }}}{2\cdot {\sqrt[{4}]{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4822facd90e7b8b004b64900551abe3f7b152e73)
![{\displaystyle \varpi =\pi ^{1/2}\exp {\bigl [}\beta '(0){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08cf6b6dce8a145403e400bc50a6c5426aa25ecf)
![{\displaystyle \varpi =2^{-1/2}\pi \exp \left[{\frac {1}{2}}\,\gamma -{\frac {2}{\pi }}\beta '(1)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc539a7f5cf5e931e11b26984c2e23a5dfa23a5c)
![{\displaystyle \beta (x)={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[x\arctan(y)]}{2\,(y^{2}+1)^{x/2}}}\operatorname {csch} {\bigl (}{\frac {\pi }{2}}\,y{\bigr )}\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55470e3929debc66e267b9a6223996b9fb565588)
![{\displaystyle \beta '(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(y)\cos[x\arctan(y)]-\ln(y^{2}+1)\sin[x\arctan(y)]}{4\,(y^{2}+1)^{x/2}}}\operatorname {csch} {\bigl (}{\frac {\pi }{2}}\,y{\bigr )}\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f48fb55ea513a0a677d39f10f05bf277e3586bfc)
![{\displaystyle \varpi =\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}{\frac {1}{4^{k}(4k+1)}}{\biggl [}4\left({\frac {1}{2}}\right)^{4k+1}+2\left({\frac {7}{23}}\right)^{4k+1}{\biggr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24e4e714cb0f07f82c64ced41a3216ec87c55f49)
![{\displaystyle \varpi =4\operatorname {arcsl} (a)+2\operatorname {arcsl} \{\tan[{\tfrac {1}{4}}\pi -2\arctan(a^{2})]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bcdaa41d10450285440820898a21d7205bf1a42)
![{\displaystyle \varpi =\pi {\biggl [}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}\,e^{-\pi k^{2}}{\biggr ]}^{2}={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}{\biggl [}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\,e^{-\pi k^{2}}{\biggr ]}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/614a275c2399c087585307c1bf97e531b68e0592)
![{\displaystyle \varpi =\pi \prod _{k=1}^{\infty }\tanh(\pi k/2)^{2}={\frac {\pi }{\sqrt[{4}]{2}}}\prod _{k=1}^{\infty }\tanh(\pi k)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a64f1780f5684e2b24e2ff6e4a7bec529e6200be)
![{\displaystyle \varpi ={\sqrt {2}}K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)=4({\sqrt {2}}-1)K[({\sqrt {2}}-1)^{2}]={\sqrt[{4}]{27}}({\sqrt {3}}-1)K\left[{\frac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e12253c8348751427c908b39c6713efe418c7678)
![{\displaystyle =8({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{2}K[({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{4}]=5{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-2)K\left[{\frac {1}{\sqrt {2}}}({\sqrt {5}}-2)(3-2{\sqrt[{4}]{5}})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45dac57602231cc944392b8f927ae13002ccb818)
![{\displaystyle \varpi =(2+{\sqrt {2}})E[({\sqrt {2}}-1)^{2}]-2E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd47c05f33974996b86fb25f803be4396985408e)
![{\displaystyle ={\frac {3}{2}}(2{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}-{\sqrt[{4}]{27}}-{\sqrt[{4}]{3}})E\left[{\frac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})\right]-{\frac {1}{2}}(3{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{27}}-3{\sqrt {2}})E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6763d1b56494e4fd15a15e53550cb2c2e90c7ad0)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl \{}{\frac {y^{2}+1}{2y^{2}}}{\biggl [}{\text{artanh}}{\bigl (}y^{2}{\bigr )}-{\text{artanh}}{\biggl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\biggr )}{\biggr ]}{\biggr \}}={\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2566cfc1afd3577b2d42b9fe4f1f12e0fbaae6d5)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}{\biggl [}\arctan(y)-{\frac {1-y^{2}}{2y}}{\text{artanh}}(y^{2}){\biggr ]}={\frac {y^{2}+1}{2y^{2}}}\operatorname {artanh} (y^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3ce81626e5bfab55850d55e081108a3a9741364)
![{\displaystyle ={\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y{\biggr ]}_{x=0}^{x=1}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00083d176992990ec5168098b18c7a902f97505f)
![{\displaystyle =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl \{}{\frac {y^{2}+1}{2y^{2}}}{\biggl [}{\text{artanh}}{\bigl (}y^{2}{\bigr )}-{\text{artanh}}{\biggl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\biggr )}{\biggr ]}{\biggr \}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67071a86ff47e4e29934ee97c624936310c27491)
![{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{2y^{2}}}\operatorname {artanh} (y^{2})\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}{\biggl [}\arctan(y)-{\frac {1-y^{2}}{2y}}{\text{artanh}}(y^{2}){\biggr ]}\mathrm {d} y=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c3ea4bfd13209a8ffc42c7364a5b44ce6a94b8d)
![{\displaystyle ={\biggl [}\arctan(y)-{\frac {1-y^{2}}{2y}}{\text{artanh}}(y^{2}){\biggr ]}_{y=0}^{y=1}=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/743bf9759307064d840c13ee58b191c00d35514b)
![{\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{4})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{\infty }x^{2}\exp(-x^{4})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}={\frac {\pi }{8{\sqrt {2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68d33a6200af4cc871e1a7104cdea2c714aa660f)
.svg)
![{\displaystyle 2{\sqrt[{4}]{2}}({\sqrt {2}}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dab29b1f0cfb65d457d5f29999b930e7827b0fa)
![{\displaystyle 2^{13/8}({\sqrt {2}}+1)^{5/2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3765f6cc6d48532d7e4c323ba6852924ccef83f4)
![{\displaystyle 2({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)\varpi +2({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{2}\pi \varpi ^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/686f727c67bfad39db1b4860c4379d301beb996d)