Poisson-Klammer – Wikipedia
Die Poisson-Klammer, benannt nach Siméon Denis Poisson, ist ein bilinearer Differentialoperator in der kanonischen (hamiltonschen) Mechanik. Sie ist ein Beispiel für eine Lie-Klammer, also für eine Multiplikation in einer Lie-Algebra.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Poisson-Klammer ist definiert als
mit
- und Funktionen der generalisierten Koordinaten und der kanonisch konjugierten Impulse
- Anzahl der Freiheitsgrade.
Allgemein kann die Poisson-Klammer auch für Funktionen und definiert werden, die nicht von generalisierten Koordinaten und kanonischen Impulsen abhängen. Zur Verdeutlichung, auf welche Variablen sich die Poisson-Klammer beziehen soll, werden diese als Indizes an die Klammer geschrieben:
- .
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- , insbesondere
- Physikalisch liegt es nahe, anzunehmen, dass die Zeitentwicklung einer Eigenschaft eines Systems nicht von den verwendeten Koordinaten abhängen sollte; damit sollten auch die Poisson-Klammern unabhängig von den verwendeten kanonischen Koordinaten sein. Seien und zwei verschiedene Sätze von Koordinaten, die durch kanonische Transformationen transformiert werden, so gilt:
- .
- Der Beweis ist länglich, sodass wir ihn hier auslassen.
Fundamentale Poisson-Klammern
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Für die kanonische Mechanik wichtig sind die fundamentalen Poisson-Klammern
Sie folgen aus den trivialen Beziehungen
Anwendung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Mithilfe der Poisson-Klammer kann die Zeitevolution einer beliebigen Observablen eines Hamiltonschen Systems ausgedrückt werden (Hamiltonsche Bewegungsgleichungen):
- .
- Dual zur Bewegungsgleichung der Observablen ist die Liouville-Gleichung, die die Dynamik der Verteilungsdichte in der statistischen Mechanik beschreibt:
- In der Quantenmechanik wird im Rahmen der kanonischen Quantisierung die Poisson-Klammer ersetzt durch mal den Kommutator:[1]
- Außerdem werden Observablen durch Operatoren dargestellt. Die oben angeführte Gleichung der Zeitevolution einer Observablen führt so auf die Zeitevolution von Operatoren eines quantenmechanischen Systems mit Hamiltonoperator im Heisenberg-Bild. Diese Bewegungsgleichung heißt Heisenbergsche Bewegungsgleichung. Die Liouville-Gleichung findet ihre Entsprechung dabei in der Von-Neumann’schen Bewegungsgleichung.
- Sowohl die Phasenraumfunktionen der kanonischen Mechanik als auch die Operatoren der Quantenmechanik bilden mit ihren Klammern jeweils eine Lie-Algebra.
- Allgemein definiert man auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit mit symplektischer Form, die in lokalen Koordinaten gegeben ist durch , die Poisson-Klammer der Funktionen und durch:
- Koordinatenunabhängig lässt sich die Poisson-Klammer wie folgt darstellen: es sei der durch beschriebene Isomorphismus. Weiter sei für eine Funktion das Vektorfeld definiert als . Damit gilt dann
Weblinks
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Eric W. Weisstein: Poisson Bracket. In: MathWorld (englisch).
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Hong-Tao Zhang: A Simple Method of Calculating Commutators in Hamilton System with Mathematica Software, arxiv:quant-ph/0204081