s-finites Maß – Wikipedia
Als s-finite Maße oder s-endliche Maße bezeichnet man eine gewisse Klasse von Maßen in der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Sie lassen sich als abzählbare Summe von endlichen Maßen darstellen und erlauben somit die Verallgemeinerung gewisser Beweise. Die s-finiten Maße sind den σ-endlichen Maßen ähnlich, sollten aber nicht mit ihnen verwechselt werden.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Gegeben sei ein Messraum . Dann heißt ein Maß auf diesem Messraum ein s-finites Maß, wenn es eine abzählbare Folge von endlichen Maßen gibt, so dass
gilt.[1]
Beispiel
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Das Lebesgue-Maß ist ein s-finites Maß. Definiere dazu
und
- .
Bezeichnet nun die Einschränkung des Lebesgue-Maßes auf die Menge , so sind die Maße
alle endlich und summieren sich aufgrund ihrer Konstruktion zu .
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Beziehung zur σ-Endlichkeit
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Jedes σ-endliche Maß ist immer s-finit. Denn ist σ-endlich und sind messbare disjunkte Mengen mit für alle wie in der Definition der σ-Endlichkeit gefordert, so sind endliche Maße, die sich wie im obigen Beispiel wieder zu aufsummieren. Umgekehrt ist nicht jedes s-finite Maß auch σ-endlich. Betrachtet man als Messraum die Menge , versehen mit der Potenzmenge als σ-Algebra und definiert die Maße alle als das Zählmaß auf , so ist
per Konstruktion s-finit. Aber ist nicht σ-endlich, denn es ist
- ,
der Fall für folgt analog.
Äquivalenz
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Jedes s-finite Maß ist äquivalent zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß . Das bedeutet, dass es ein Maß mit gibt, so dass . Hier bedeutet , dass und , sprich es ist absolut stetig bezüglich und absolut stetig bezüglich . Denn sind endliche Maße wie in der Definition der s-Finitheit gefordert, so ist ein mögliches gegeben durch
- .
für alle .
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Olav Kallenberg: Random Measures, Theory and Applications. Springer, Switzerland 2017, doi:10.1007/978-3-319-41598-7.
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Olav Kallenberg: Random Measures, Theory and Applications. Springer, Switzerland 2017, S. 21, doi:10.1007/978-3-319-41598-7.