Sacharow-System – Wikipedia

Ein Sacharow-System (auch Sacharow-Gleichungen) ist ein System von nicht-linearen partiellen Differentialgleichungen, um die Ausbreitung von Langmuir-Wellen zu modellieren, letzteres sind Elektronen-Plasmawellen. Das System wurde 1972 von dem russischen mathematischen Physiker Wladimir Jewgenjewitsch Sacharow eingeführt.^[1]

Sei

• ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ eine offene Menge,
• ${\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} _{+}}$ ein Intervall,
• ${\displaystyle \alpha >0}$ eine Konstante.

Gesucht sind zwei Lösungsfunktion ${\displaystyle v(x,t)\colon \Omega \times T\to \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle u(x,t)\colon \Omega \times T\to \mathbb {C} }$, welche das Sacharow-System in skalarer Form lösen. ${\displaystyle u}$ beschreibt die komplexe Einhüllende des stark oszillierenden elektrischen Feldes und ${\displaystyle v}$ die Fluktuation der Ionendichte.

Das Sacharow-System ist^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}i\partial _{t}u+\Delta _{x}u&=uv\\{\tfrac {1}{\alpha ^{2}}}\partial _{t}^{2}v-\Delta _{x}v&=\Delta _{x}(|u|^{2})\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle \Delta _{x}}$ der Laplace-Operator bezüglich ${\displaystyle x}$ ist.

Die untere Gleichung lässt sich mit dem D'Alembert-Operator ${\displaystyle \Box ={\tfrac {1}{\alpha ^{2}}}\partial _{t}^{2}-\Delta _{x}}$ kürzer hinschreiben

${\displaystyle \Box v=\Delta _{x}(|u|^{2}).}$

Eine physikalische Herleitung findet sich in (^[1]) und (^[3]).

• Guo, Boling., Gan, Zaihui., Kong, Linghai., Zhang, Jingjun: The Zakharov System and Its Soliton Solutions. Hrsg.: Springer Nature Singapore. Singapur 2016. 
• V. E. Zakharov: Collapse of Langmuir waves. In: Soviet Journal of Experimental and Theoretical Physics. 1972. 

1. ↑ ^{a b} V. E. Zakharov: Collapse of Langmuir waves. In: Soviet Journal of Experimental and Theoretical Physics. 1972. 
2. ↑ Linares, Felipe., Ponce, Gustavo: Introduction to Nonlinear Dispersive Equations. Hrsg.: Springer New York. Niederlande 2009, S. 200. 
3. ↑ Guo, Boling., Gan, Zaihui., Kong, Linghai., Zhang, Jingjun: The Zakharov System and Its Soliton Solutions. Hrsg.: Springer Nature Singapore. Singapur 2016.