Satz von Radon-Riesz – Wikipedia

Der Satz von Radon-Riesz ist ein mathematischer Satz in der Maßtheorie, der Aussagen darüber trifft, wann die schwache Konvergenz in ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$ und die Konvergenz im p-ten Mittel von Funktionenfolgen äquivalent sind. In diesem Zusammenhang wird die Konvergenz im p-ten Mittel auch wie in der Funktionalanalysis üblich als Normkonvergenz oder starke Konvergenz in ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$ bezeichnet. Der Satz ist nach Johann Radon und Frigyes Riesz benannt.

Es sei ${\displaystyle p\in (1,\infty )}$ und ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {K} ,(f_{n}\colon X\to \mathbb {K} )_{n\in \mathbb {N} }}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$ und ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ bezeichne die ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$-Norm. Dann konvergiert ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ im p-ten Mittel genau dann, wenn ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ schwach konvergiert und ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}\|_{p}=\|f\|_{p}}$ ist.

Der Satz von Radon-Riesz ist Namensgeber für die Radon-Riesz-Eigenschaft. Dies ist eine Eigenschaft von normierten Räumen in der Funktionalanalysis. Ein normierter Raum hat die Radon-Riesz-Eigenschaft genau dann, wenn in diesem Raum die Normkonvergenz einer Folge äquivalent dazu ist, dass die Folge schwach konvergiert und die Folge der Normen gegen die Norm des Grenzwertes konvergiert.

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.