Der Tijs-Wert (auch
-Wert genannt) ist ein Lösungskonzept der kooperativen Spieltheorie. Das Prinzip dieses Konzeptes ist eine Verhandlungssituation, bei der zunächst eine Obergrenze (Obervektor) sowie eine Untergrenze (Untervektor) bestimmt werden.
Der Vektor der Grenzbeiträge jedes Spielers zur großen Koalition bildet den Obervektor. Unter der großen Koalition versteht man dabei die aus allen Spielern bestehende Koalition. Für jeden Spieler
, diese seien nummeriert von
bis
, wird die Differenz zwischen dem Wert der großen Koalition
und dem Wert der großen Koalition abzüglich des Spielers
berechnet. Dieser sogenannte Grenzbeitrag des Spielers
beschreibt die obere Grenze für die Auszahlung an eben jenen Spieler. Somit wird dem Spieler keine höhere Auszahlung gewährt, als sein Wertbeitrag zur großen Koalition.
In einem Spiel
ist der Obervektor (auch Utopia-Vektor genannt)
beschrieben durch:
![{\displaystyle \forall \ \ i\in N:b_{i}=v(N)-v(N\setminus \{i\}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3095e5619027266d766cc90dc371593eeb4d9a)
Die Koordinate
beschreibt hierbei den marginalen Beitrag des Spielers
bzgl. der großen Koalition
.[1]
Sollte sich ein Spieler
nicht an der großen Koalition
beteiligen wollen, so kann er Teil einer sogenannten Außenseiterkoalition
werden. Dann steht ihm der Wert der Außenseiterkoalition
zu. Allerdings muss Spieler
den anderen Spielern einen Anreiz bieten, um ebenfalls an der Außenseiterkoalition
teilzunehmen. Dazu wird jedem anderen Spieler
, der Wert geboten, den sie als Teil der großen Koalition
realisieren könnten. Die so berechnete Differenz bildet die Untergrenze (auch Drohpunkt oder Konzessionsgrenze genannt) des Spielers
. Rein rational wird jene Koalition angestrebt, in der diese Differenz am größten ist.
In einem Spiel
ist der Untervektor
gegeben mit:
[2]
An eine solche Zuteilung werden zwei Forderungen gestellt. Zum einen müssen die Koordinaten
mindestens so groß sein wie
(für alle Spieler). Zum anderen soll der Wert der großen Koalition nicht-kleiner bzw. nicht-größer als die Summe aller
bzw.
sein. Dies beschreibt die Quasi-Balanciertheit eines Spieles.
Ein Spiel
ist quasi-balanciert, sofern für alle
:
sowie
erfüllt ist.[3]
Für quasi-balancierte Spiele ist die Existenz und Eindeutigkeit einer Imputation gesichert, welche zwischen dem Obervektor
und Untervektor
liegt. Diese Imputation wird Tijs-Wert genannt.
Der
-Wert eines quasi-balancierten Spieles ist definiert durch:
, wobei:
, wenn
, ansonsten:
[4]
Insgesamt erhält Spieler
die
-Koordinate des
-Wert als Lösung zugeteilt.
Koalitionsfunktion des (Bei-)Spiels[5] | | | | | | | | |
| | | | | | | | |
Der Obervektor
ist bestimmt mit:
.
Der Untervektor
ist berechnet mit:
![{\displaystyle a={\begin{pmatrix}a_{A}\\a_{B}\\a_{C}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\operatorname {max} }(v(\lbrace A\rbrace );~v(\lbrace A,B\rbrace )-b_{\scriptscriptstyle B};~v(\lbrace A,C\rbrace )-b_{\scriptscriptstyle C};~v(\lbrace A,B,C\rbrace )-(b_{\scriptscriptstyle B}+b_{\scriptscriptstyle C}))\\{\operatorname {max} }(v(\lbrace B\rbrace );~v(\lbrace A,B\rbrace )-b_{\scriptscriptstyle A};~v(\lbrace B,C\rbrace )-b_{\scriptscriptstyle C};~v(\lbrace A,B,C\rbrace )-(b_{\scriptscriptstyle A}+b_{\scriptscriptstyle C}))\\{\operatorname {max} }(v(\lbrace C\rbrace );~v(\lbrace A,C\rbrace )-b_{\scriptscriptstyle A};~v(\lbrace B,C\rbrace )-b_{\scriptscriptstyle B};~v(\lbrace A,B,C\rbrace )-(b_{\scriptscriptstyle A}+b_{\scriptscriptstyle B}))\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8b5ce35b38959119d1a90722ceb20d57c4622be)
![{\displaystyle a={\begin{pmatrix}{\operatorname {max} }(200;~700-700;~500-500;~1200-(700+500))\\{\operatorname {max} }(200;~700-700;~500-500;~1200-(700+500))\\{\operatorname {max} }(200;~500-700;~500-700;~1200-(700+700))\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73825ea4251048cf4c7166e6670be386d1b90311)
![{\displaystyle a={\begin{pmatrix}&{\operatorname {max} }&(&200&;~&0&;~&0&;~&0&&)\\&{\operatorname {max} }&(&200&;~&0&;~&0&;~&0&&)\\&{\operatorname {max} }&(&200&;~&-200&;~&-200&;~&-200&&)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}200\\200\\200\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a99f62d1189d1b9ba81fd137317e2fb1aad3723c)
Weiter ist der Faktor
zu berechnen mit:
.
Insgesamt folgt daher:
.[6]
- Jesús Mario Bilbao: Cooperative Games on Combinatorial Structures. Springer, New York 2000, ISBN 978-0-7923-7782-5.
- Rodica Branzei, Dinko Dimitrov, Stef Tijs: Models in Cooperative Game Theory. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-77953-7.
- David Müller: Investitionscontrolling: Entscheidungsfindung bei Investitionen II: Entscheidungstheorie. 3. Aufl. Springer Gabler, Berlin u. a. 2022, ISBN 978-3-658-36596-7.
- S. H. Tijs: Bounds for the core of a game and the
-value. In: O. Moeschlin, D. Pallaschke (Hg.): Game theory and mathematical economics. North-Holland, Amsterdam 1981, S. 123–132. - S. H. Tijs: An axiomatization of the
-value. In: Mathematical Social Sciences, Volume 13, Issue 2, 1987, doi:10.1016/0165-4896(87)90054-0, S. 177–181.
- ↑ Vgl. Bilbao 2000, S. 6; Branzei et al. 2008, S. 31; Müller 2022, S. 513; Tijs 1981, S. 123.
- ↑ Vgl. Bilbao 2000, S. 6; Branzei et al. 2008, S. 31; Müller 2022, S. 513–514; Tijs 1981, S. 123–124.
- ↑ Vgl. Bilbao 2000, S. 6; Branzei et al. 2008, S. 31; Müller 2022, S. 514; Tijs 1987, S. 178.
- ↑ Vgl. Bilbao 2000, S. 6; Branzei et al. 2008, S. 32; Müller 2022, S. 514; Tijs 1987, S. 179.
- ↑ Vgl. Müller 2022, S. 479.
- ↑ Vgl. Müller 2022, S. 515.