Wachstum (Gruppentheorie) – Wikipedia
Im mathematischen Gebiet der Gruppentheorie zählt die Wachstumsrate einer Gruppe grob die Anzahl der Elemente, die sich als Produkte der Länge aus gegebenen Erzeugern darstellen lassen.
Wachstum von Graphen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es sei ein Graph und ein fest gewählter Knoten.
Für sei die Anzahl der Knoten , für die es einen Weg aus maximal Kanten von nach gibt.
Die Wachstumsrate des Graphen ist per Definition die Wachstumsrate der Folge .
Wachstum von Gruppen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es sei eine endlich erzeugte Gruppe und ein endliches Erzeugendensystem. Als Wachstumsrate der Gruppe bezeichnet man die Wachstumsrate des Cayleygraphen für .
Genauer bedeutet dies das Folgende: Ist , so lässt sich jedes Gruppenelement als Wort schreiben, wobei , die Indizes Elemente von und die Exponenten beliebige ganze Zahlen sind. Für jedes sei die Anzahl der Elemente von , die eine solche Schreibung mit besitzen. Die Wachstumsrate der Gruppe ist dann gerade die Wachstumsrate der Folge .
Unterschiedliche Erzeugendensysteme geben zwar unterschiedliche Cayleygraphen und damit auch unterschiedliche Folgen , jedoch sind die Cayleygraphen unterschiedlicher endlicher Erzeugendensysteme zueinander bilipschitz-äquivalent, womit die Wachstumsrate der Folge nur von der Gruppe und nicht vom gewählten Erzeugendensystem abhängt.
Beispiele
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Das Wachstum von ist linear.
- Das Wachstum von ist quadratisch.
- Das Wachstum einer nilpotenten Gruppe ist polynomiell vom Grad , wobei die abelschen Gruppen in der absteigenden Zentralreihe von und ihr Rang sind.
- Satz von Gromow: Eine Gruppe hat genau dann polynomielles Wachstum, wenn sie virtuell nilpotent ist.[1][2]
- Satz von Milnor-Wolf: Eine auflösbare Gruppe hat entweder polynomielles oder exponentielles Wachstum.
- Die Grigortschuk-Gruppe hat subexponentielles, aber nicht polynomielles Wachstum.[3]
- Das Wachstum einer nichtabelschen freien Gruppe ist exponentiell.
- Fundamentalgruppen kompakter riemannscher Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkrümmung haben exponentielles Wachstum.[4]
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- J. Milnor: Growth of finitely generated solvable groups. J. Differential Geometry 2 (1968), 447–449.
Weblinks
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- M. Duchin: Counting in Groups: Fine Asymptotic Geometry, Notices of the American Mathematical Society, September 2016
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ M. Gromow: Groups of polynomial growth and expanding maps. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 53 (1981), 53–73.
- ↑ B. Kleiner: A new proof of Gromov's theorem on groups of polynomial growth. J. Amer. Math. Soc. 23 (2010), no. 3, 815–829.
- ↑ R. I. Grigortschuk: Degrees of growth of finitely generated groups and the theory of invariant means. (Russisch) Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 48 (1984), no. 5, 939–985.
- ↑ J. Milnor: A note on curvature and fundamental group. J. Differential Geometry 2 (1968), 1–7.