65537-gono , la enciclopedia libre
65537-gono | ||
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![]() Un 65537-gono regular | ||
Características | ||
Tipo | Polígono regular | |
Lados | 65.537 | |
Vértices | 65.537 | |
Grupo de simetría | Diedral (D65537), orden 2×65537 | |
Símbolo de Schläfli | {65537} (65537-gono regular) | |
Diagrama de Coxeter-Dynkin | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Polígono dual | Autodual | |
Área | (lado ) | |
Ángulo interior | 179,994507° | |
Propiedades | ||
Convexo, isogonal, cíclico | ||
En geometría, un 65537-gono es un polígono con 65.537 (216 + 1) lados. La suma de los ángulos interiores de cualquier 65537-gono que no sea autointersecante es de 11.796.300°. Presenta la particularidad de que se puede construir con regla y compás, al ser 65.537 un número de Fermat.
65537-gono regular
[editar]El área de un 65537-gono normal es (con a = longitud del lado)
Un 65537-gono regular completo no se distingue visualmente de una circunferencia, y su perímetro difiere del de la circunferencia circunscrita en aproximadamente 15 partes por mil millones.
Construcción
[editar]El 65537-gono regular (uno con todos los lados iguales y todos los ángulos iguales) es de interés por ser un polígono construible: es decir, se puede construir usando un compás y una regla sin marcar. Esto se debe a que 65.537 es un número de Fermat, siendo de la forma 22n + 1 (en este caso n = 4).
Por lo tanto, los valores y son números algebraicos asociados a un polinomio de grado 32768 y, como cualquier número construible, se pueden escribir en términos de raíces cuadradas y no de raíces de orden superior.
Aunque Gauss sabía en 1801 que el 65537-gono regular era construible, Johann Gustav Hermes (1894) proporcionó la primera construcción explícita de un 65537-gono regular. La construcción es muy compleja; Hermes pasó 10 años completando el manuscrito de 200 páginas.[1] Otro método implica el uso de un máximo de 1332 círculos de Carlyle, y las primeras etapas de este método se muestran a continuación. Este método soluciona problemas prácticos, ya que uno de estos círculos de Carlyle resuelve la ecuación de segundo grado x2 + x − 16384 = 0 (siendo 16384 precisamente 214).[2]
Simetría
[editar]El 65537-gono regular tiene simetría diedral Dih65537, de orden 131.074. Dado que 65.537 es un número primo, hay un subgrupo con simetría diédrica: Dih1, y 2 simetrías grupo cíclico: Z65537 y Z1.
65537 grama
[editar]Un 65537 grama es una estrella de 65.537 lados. Como 65.537 es primo, hay 32.767 formas regulares representadas de la forma símbolos de Schläfli {65537/n}, para todos los números enteros 2 ≤ n ≤ 32768 como .
Véase también
[editar]- Círculo
- Triángulo equilátero
- Pentágono
- Heptadecágono (17 caras)
- 257-gono
Referencias
[editar]- ↑ Johann Gustav Hermes (1894). «Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile». Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (en alemán) (Göttingen) 3: 170-186.
- ↑ DeTemple, Duane W. (Feb 1991). «Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions». The American Mathematical Monthly 98 (2): 97-208. JSTOR 2323939. doi:10.2307/2323939. Archivado desde el original el 21 de diciembre de 2015. Consultado el 6 de noviembre de 2011.
Bibliografía
[editar]- Weisstein, Eric W. «65537-gon». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- Robert Dixon Mathographics. New York: Dover, p. 53, 1991.
- Benjamin Bold, Famous Problems of Geometry and How to Solve Them New York: Dover, p. 70, 1982. ISBN 978-0486242972
- H. S. M. Coxeter Introduction to Geometry, 2nd ed. New York: Wiley, 1969. Chapter 2, Regular polygons
- Leonard Eugene Dickson Constructions with Ruler and Compasses; Regular Polygons Ch. 8 in Monographs on Topics of Modern Mathematics
- Relevant to the Elementary Field (Ed. J. W. A. Young). New York: Dover, pp. 352–386, 1955.
Enlaces externos
[editar]- 65537-gon Archivado el 5 de enero de 2023 en Wayback Machine. mathematik-olympiaden.de (alemán), con imágenes de la documentación HERMES; recuperado el 9 de julio de 2018
- Wikibooks 65573-Eck (alemán) Construcción aproximada del primer lado en dos pasos principales
- 65537-gon, exact construction for the 1st side, usando Cuadratriz de Hipias y GeoGebra como ayudas adicionales, con breve descripción (alemán)