Desigualdad de Márkov , la enciclopedia libre

En teoría de la probabilidad, la desigualdad de Márkov proporciona una cota superior para la probabilidad de que una función no negativa de una variable aleatoria sea mayor o igual que una constante positiva. Su nombre le viene del matemático ruso Andréi Márkov.

La desigualdad de Márkov relaciona las probabilidades con la esperanza matemática y proporciona cotas útiles -aunque habitualmente poco ajustadas- para la función de distribución de una variable aleatoria.

Desigualdad de Márkov

Desigualdad de Márkov

Si $X$ es una variable aleatoria no negativa tal que $\exists \operatorname {E} [X]$ y $a>0$ , entonces:

$\operatorname {P} [X\geq a]\leq {\frac {\operatorname {E} [X]}{a}}$

donde $\operatorname {E} [\cdot ]$ denota la esperanza matemática.

Demostración
Caso discreto Si $X$ es una variable aleatoria discreta con valores en $E_{X}$ , aplicando la definición de la esperanza: ${\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=\sum _{x\in E_{X}}{x\cdot \operatorname {P} [X=x]}\\&=\sum _{x<a}{x\cdot \operatorname {P} [X=x]\,dx}+\sum _{x\geq a}{x\cdot \operatorname {P} [X=x]}\\&\geq 0+\sum _{x\geq a}{x\cdot \operatorname {P} [X=x]}\\&\geq \sum _{x\geq a}{a\cdot \operatorname {P} [X=x]}\\&\geq a\cdot \sum _{x\geq a}{\operatorname {P} [X=x]}\\&=a\cdot \operatorname {P} [X\geq a]\end{aligned}}$ $\Rightarrow \operatorname {P} [X\geq a]\leq {\frac {\operatorname {E} [X]}{a}}$ . Caso continuo Si $X$ es una variable aleatoria continua con función de densidad $f_{X}$ , aplicando la definición de la esperanza: ${\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=\int _{0}^{+\infty }{x\cdot f_{X}(x)\,dx}\\&=\int _{0}^{a}{x\cdot f_{X}(x)\,dx}+\int _{a}^{+\infty }{x\cdot f_{X}(x)\,dx}\\&\geq 0+\int _{a}^{+\infty }{x\cdot f_{X}(x)\,dx}\\&\geq \int _{a}^{+\infty }{a\cdot f_{X}(x)\,dx}\\&\geq a\cdot \int _{a}^{+\infty }{f_{X}(x)\,dx}\\&=a\cdot \operatorname {P} [X\geq a]\end{aligned}}$ $\Rightarrow \operatorname {P} [X\geq a]\leq {\frac {\operatorname {E} [X]}{a}}$ .

Demostración

Para cualquier suceso A, sea I_A la variable aleatoria indicatriz de A, esto es, I_A = 1 si ocurre A y es 0 en el caso contrario. Entonces

$aI_{(|X|\geq a)}\leq |X|.\,$

Por lo tanto

$\mathbb {E} (aI_{(|X|\geq a)})\leq \mathbb {E} (|X|).\,$

Ahora, nótese que el lado izquierdo de esta desigualdad coincide con

$a\mathbb {E} (I_{(|X|\geq a)})=a\Pr(|X|\geq a).\,$

Por lo tanto tenemos

$a\Pr(|X|\geq a)\leq \mathbb {E} (|X|)\,$

y como a > 0, se pueden dividir ambos lados entre a.

Demostración alternativa

Una prueba más formal, relacionada con la teoría de la medida, es la siguiente:

$\Pr(|X|\geq a)=\int _{a}^{\infty }{f(x)dx}\leq \int _{a}^{\infty }{{\frac {|x|}{a}}f(x)dx}\leq {\frac {1}{a}}\int _{-\infty }^{\infty }{|x|f(x)dx}={\frac {\mathbb {E} (|X|)}{a}}$

En la introducción de ${\frac {|x|}{a}}$ , nótese que ya que estamos considerando la variable aleatoria sólo en sus valores iguales o mayores a $a$ , $|X|\geq a$ y, por tanto,

${\frac {|X|}{a}}\geq 1$

con lo que al multiplicar $f(x)dx$ por algo mayor a uno será igual o mayor. La segunda desigualdad viene de añadir la suma

$\int _{-\infty }^{a}{|x|f(x)dx}$

que siempre será positiva ya que se integra algo positivo como es el valor absoluto (porque $\scriptstyle f(x)$ es positiva).

La desigualdad de Márkov se emplea para probar la desigualdad de Chebyshov.

Datos: Q842436