En probabilidad y estadística, una distribución normal multivariante, también llamada distribución gaussiana multivariante, es una generalización de la distribución normal unidimensional a dimensiones superiores.
Hay un vector aleatorio , cuyas componentes son variables aleatorias independientes distribuidas según la normal estándar, un vector y una matriz tal que .
Hay un vector y una matriz semidefinida positiva simétrica tal que la función característica de es
donde denota el determinante de la matriz . Nótese cómo la ecuación de arriba se reduce a la distribución normal si es un escalar (es decir, una matriz 1x1).
Es importante comprender que la matriz de covarianza puede ser singular (aunque no esté así descrita por la fórmula de arriba, para la cual está definida).
Este caso aparece con frecuencia en estadística; por ejemplo, en la distribución del vector de residuos en problemas ordinarios de regresión lineal. Nótese también que los Xi son en general no independientes; pueden verse como el resultado de aplicar la transformación lineal a una colección de variables normales .
Muchas observaciones de muestras (en negro) se observan a partir de una distribución de probabilidad conjunta. También se muestran las densidades marginales.
La función de distribución se define como la probabilidad de que todos los valores de un vector aleatorio sean menores o iguales que los valores correspondientes de un vector . Aunque no tenga una fórmula, hay una serie de algoritmos que permiten estimarla numéricamente.[1]
El hecho de que dos variables aleatorias e sigan una distribución normal, cada una, no implica que el par (X, Y) siga una distribución normal conjunta. Un ejemplo simple se da con Normal(0,1), si e si . Esto también es cierto para más de dos variables aleatorias.[2]
Si y están normalmente distribuidas y son independientes, su distribución conjunta también está normalmente distribuida, es decir, el par (X, Y) debe tener una distribución normal bivariante. En cualquier caso, un par de variables aleatorias normalmente distribuidas no tienen por qué ser independientes al ser consideradas de forma conjunta.
Ilustración de una distribución gaussiana multivariada y sus marginales. Código Matlab incluido a continuación.
Si es una transformación afín de donde es un vector de constantes y una matriz, entonces tiene una distribución normal multivariante con esperanza y varianza esto es, . En particular, cualquier subconjunto de las tiene una distribución marginal que es también una normal multivariante.
Para ver esto, considérese el siguiente ejemplo: para extraer el subconjunto , úsese
lo que extrae directamente los elementos deseados.
Otro corolario sería que la distribución de , donde es un vector de la misma longitud que y el punto indica un producto vectorial, sería una distribución gaussiana unidimensional con . Este resultado se obtiene usando
y considerando sólo la primera componente del producto (la primera fila de es el vector ). Obsérvese cómo la definición positiva de implica que la varianza del producto vectorial debería ser positiva.
Las curvas de equidensidad de una distribución normal multivariante son elipsoides (es decir, transformaciones lineales de hiperesferas) centrados en la media.[3] Las direcciones de los ejes principales de los elipsoides vienen dados por los vectores propios de la matriz de covarianza . Las longitudes relativas de los cuadrados de los ejes principales vienen dados por los correspondientes vectores propios.
Además, U puede elegirse de tal modo que sea una matriz de rotación, tal que invirtiendo un eje no tenga ningún efecto en , pero invirtiendo una columna, cambie el signo del determinante de U'. La distribución es en efecto escalada por , rotada por U y trasladada por .
Recíprocamente, cualquier elección de , matriz de rango completo U, y valores diagonales positivos cede el paso a una distribución normal no singular multivariante. Si cualquier es cero y U es cuadrada, la matriz de covarianza es una singular. Geométricamente esto significa que cada curva elipsoide es infinitamente delgada y tiene volumen cero en un espacio n-dimensional, así como, al menos, uno de los principales ejes tiene longitud cero.
En general, las variables aleatorias pueden ser incorreladas, pero altamente dependientes. Pero si un vector aleatorio tiene una distribución normal multivariante, entonces cualesquiera dos o más de sus componentes que sean incorreladas, son independientes.
Pero no es cierto que dos variables aleatorias que están (separadamente, marginalmente) normalmente distribuidas e incorreladas sean independientes. Dos variables aleatorias que están normalmente distribuidas pueden que no lo estén conjuntamente. Para un ejemplo de dos variables normalmente distribuidas que sean incorreladas pero no independientes, véase normalmente distribuidas e incorreladas no implica independencia.
donde la suma se toma sobre todas las disposiciones de conjuntos en parejas (no ordenadas). Esto es, si se tiene un k-ésimo () momento central, se estarán sumando los productos de covarianzas (la notación - se ha despreciado para facilitar la lectura):
Esto da lugar a términos en la suma (15 en el caso de arriba), cada uno siendo el producto de (3 en este caso) covarianzas. Para momentos de cuarto orden (cuatro variables) hay tres términos. Para momentos de sexto orden hay 3 × 5 = 15 términos, y para momentos de octavo orden hay 3 × 5 × 7 = 105 términos.
Las covarianzas son entonces determinadas mediante el reemplazo de los términos de la lista por los términos correspondientes de la lista que consiste en unos, entonces doses, etc... Para ilustrar esto, examínese el siguiente caso de momento central de cuarto orden:
donde es la covarianza de y . La idea del método de arriba es que primero se encuentra el caso general para el momento -ésimo, donde se tiene diferentes variables - y entonces se pueden simplificar apropiadamente. Si se tiene entonces, simplemente sea y se sigue que .
entonces la distribución de condicionada a es una normal multivariante donde
y matriz de covarianza
Esta matriz es el complemento de Schur de en . Esto significa que para calcular la matriz condicional de covarianza, se invierte la matriz global de covarianza, se desprecian las filas y columnas correspondientes a las variables bajo las cuales está condicionada y entonces se invierte de nuevo para conseguir la matriz condicional de covarianza.
Nótese que se sabe que altera la varianza, aunque la nueva varianza no dependa del valor específico de ; quizás más sorprendentemente, la media se cambia por ; compárese esto con la situación en la que no se conoce el valor de , en cuyo caso tendría como distribución
.
La matriz se conoce como la matriz de coeficientes de regresión.
El logaritmo debe tomarse con base e en los dos términos (logaritmos neperianos), siguiendo el logaritmo están los logaritmos neperianos de las expresiones que son ambos factores de la función de densidad o si no, surgen naturalmente. La divergencia de arriba se mide en nats. Dividiendo la expresión de arriba por loge 2 se da paso a la divergencia en bits.
Los tests de normalidad multivariante comprueban la similitud de un conjunto dado de datos con la distribución normal multivariante. La hipótesis nula es que el conjunto de datos es similar a la distribución normal, por consiguiente un p-valor suficientemente pequeño indica datos no normales. Los tests de normalidad multivariante incluyen el test de Cox-Small[5] y la adaptación de Smith y Jain [6] del test de Friedman-Rafsky.
Un método ampliamente usado para simular un vector aleatorio de la distribución normal multivariada -dimensional con vector de medias y matriz de covarianza (requerida para ser simétrica y definida positiva) funciona como sigue:
Se calcula la descomposición de Cholesky de , esto es, se encuentra la única matriz triangular inferior tal que . Nótese que cualquier otra matriz que satisfaga esta condición, o sea, que es uno la raíz cuadrada de , podría usarse, pero a menudo encontrar tal matriz, distinta de la de la descomposición de Cholesky, sería bastante más costoso en términos de computación.
Sea un vector cuyas componentes normales e independientes varían (lo cual puede generarse, por ejemplo, usando el método de Box-Muller.
↑Gokhale, DV; NA Ahmed, BC Res, NJ Piscataway (mayo de 1989). «Entropy Expressions and Their Estimators for Multivariate Distributions». Information Theory, IEEE Transactions on35 (3): 688-692. doi:10.1109/18.30996.La referencia utiliza el parámetro obsoleto |coautores= (ayuda)
↑Smith, Stephen P.; Anil K. Jain (septiembre de 1988). «A test to determine the multivariate normality of a dataset». IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence10 (5): 757-761. doi:10.1109/34.6789.La referencia utiliza el parámetro obsoleto |coautores= (ayuda)