Una forma cuadrática o forma bilineal simétrica es una aplicación matemática que asigna a cada elemento
de un espacio vectorial un elemento del cuerpo sobre el que está construido el espacio vectorial, de una manera que generaliza la operación
un espacio vectorial de dimensión superior a 1.
Una forma cuadrática es una aplicación
del espacio vectorial
en el cuerpo
, que cumple las siguientes condiciones equivalentes:
- a) Existe una forma bilineal simétrica
de
en el cuerpo
tal que
. A
se le llama forma polar de
. - b)
,
. Además
es una forma bilineal simétrica definida en
y con valores en
. A
se le llama forma cuadrática asociada a
.
Prefijada una base
del espacio
, una forma cuadrática es por tanto una aplicación de la forma
, donde
son las coordenadas de
en base
y
es una matriz (la matriz de
en base
) que tiene la forma siguiente (
es la forma bilineal simétrica asociada a
):
Se suele escribir
.
Habitualmente también que se representan mediante un polinomio de segundo grado con varias variables (tantas como la dimensión del espacio vectorial), que se obtiene desarrollando el producto
(habiendo fijado previamente una base).
Es decir, fijada una base, hay una biyección entre formas cuadráticas de
con
, matrices simétricas
y polinomios de segundo grado en
variables.
Es evidente que tanto las formas cuadráticas como las formas bilineales simétricas definen sendos espacios vectoriales (son estables bajo combinaciones lineales con elementos del cuerpo). Para ver la equivalencia entre las formas cuadráticas y las formas bilineales simétricas, basta encontrar una biyección entre estos dos espacios vectoriales, que no es sino el contenido del apartado b) de la sección anterior. Sin embargo, no han de confundirse: las formas bilineales son aplicaciones de
mientras que las formas cuadráticas son aplicaciones de
.
Se dice que dos formas cuadráticas
(con formas bilineales asociadas
, respectivamente) son equivalentes si existen bases
del espacio vectorial
tales que
tienen la misma matriz, es decir,
bases de
tales que
. Esto es claramente una relación de equivalencia y nos permitirá clasificar las formas cuadráticas. El resultado principal de esta sección es que toda forma cuadrática de un espacio vectorial sobre un cuerpo de característica distinta de 2 es equivalente a una forma con matriz diagonal.
Lo primero que necesitamos es ver cómo se comportan las matrices asociadas respecto del cambio de base. Si
son dos bases de
,
es la matriz del cambio de
a
(es decir, sus columnas son las componentes de los vectores de
en base
) y
es una forma cuadrática, entonces
.
Demostración |
Sea y sean los vectores de sus coordenadas en bases , respectivamente. Pero las coordenadas en base de vienen dadas por el vector . Ahora,
Como es, por definición, la (única) matriz tal que , tenemos la relación que buscábamos. |
Veamos ahora el resultado principal: toda forma cuadrática
de un espacio vectorial sobre un cuerpo de característica distinta de 2 es equivalente a una forma con matriz diagonal, es decir, hay una base
tal que
. Esto quiere decir, además, que el polinomio asociado a
en base
es una suma de cuadrados:
(
son las coordenadas de
en base
). Tal base se suele denominar
-ortogonal por analogía a cuando
es un producto escalar.
Toda forma cuadrática de un espacio vectorial de característica distinta de dos admite una base -ortogonal. |
Sea una forma cuadrática con forma bilineal simétrica asociada . Hacemos la demostración por inducción sobre la dimensión del espacio vectorial, . : En este caso, la matriz de la forma cuadrática es , por lo que ya es diagonal, así que no hay nada que demostrar.
Supongamos el resultado cierto para y veámoslo para . Si , entonces, en cualquier base y, en particular, es diagonal. Podemos suponer pues que y, en particular, que . Por tanto, existe un vector tal que . Además, la aplicación es no nula (es distinta de cero en ), lineal y su núcleo tiene dimensión por el teorema rango-nulidad. Como , tenemos que , por lo que (están en suma directa). Sea la restricción de a . Como este último espacio tiene dimensión , tiene una base -ortogonal . Ahora, la base de es -ortogonal, pues la primera fila y la primera columna son nulas excepto en el elemento diagonal por definición de y el resto por ser -ortogonal. |
Clasificación en el caso complejo
[editar] Supongamos a partir de ahora que
y veamos qué más podemos deducir. Nuestro objetivo es describir exactamente las clases de equivalencia y dar un representante canónico de cada una. Es decir, queremos dar una lista de formas cuadráticas (o matrices simétricas, ya que están en biyección) tal que cualquier otra forma sea equivalente a una y sólo una de las formas de esa lista.
Ya hemos visto que toda forma es equivalente a una forma con matriz diagonal, pero vamos a demostrar más en el caso complejo: dada una forma
, existe una base
de
tal que la matriz de
en base
es de la forma siguiente para un cierto
, con
:
Demostración |
Sea la base de en que tiene matriz simétrica. Podemos suponer (reordenando la base) que los elementos nulos de la matriz están abajo. Es decir, que , con . Ahora, podemos definir la base . Podemos tomar raíces sin preocuparnos por el signo porque el cuerpo es . Es un cálculo sencillo comprobar que en la nueva base la matriz tiene la forma que queremos. |
Ahora afirmamos que toda forma cuadrática compleja es equivalente a una y sólo una forma cuadrática de la forma anterior, con
. En efecto, que es equivalente a una ya lo hemos demostrado; veamos que lo es a sólo una. Definimos el rango de una cuádrica
como el rango de su matriz en una cierta base. Está bien definido porque su matriz en otra base se obtiene multiplicando la matriz en la base original por matrices de cambio de base (invertibles), por lo que su rango no cambia. Esto quiere decir que
y
no son equivalentes para
(pues tienen rangos distintos), de donde una forma cuadrática arbitraria
sólo puede ser equivalente a una de las anteriores.
En conclusión, en un espacio de dimensión
hay
clases de equivalencia de formas cuadráticas complejas; se puede tomar como representante canónico de cada clase la matriz diagonal con
unos en la diagonal (
), y podemos saber a qué clase pertenece una forma cuadrática compleja dada simplemente mirando el rango de su matriz en cualquier base (este rango es el número
de unos en la diagonal del representante canónico de su clase).
Clasificación en el caso real
[editar] En este último apartado suponemos que
y queremos hacer lo mismo que hemos hecho para los complejos, es decir, encontrar una lista de formas cuadráticas reales tal que cualquier otra sea equivalente a una y sólo una de la lista.
Como antes, ya hemos visto que toda forma es equivalente a una forma con matriz diagonal. En el caso complejo podíamos transformar todos los elementos diagonales en 1 porque podíamos tomar raíces de los elementos diagonales fueran positivos o negativos (ver la demostración en el apartado anterior). Sin embargo, en el caso real esto último no lo podemos hacer para elementos negativos y veremos que lo máximo que podemos hacer es transformar los coeficientes negativos en -1 (y los positivos en 1, como en el caso complejo).
Es decir, afirmamos que dada una forma cuadrática
, existe una base
de
tal que la matriz de
en base
es de la forma siguiente para ciertos
:
Demostración |
Sea la base de en que tiene matriz simétrica. Podemos suponer (reordenando la base) que los elementos diagonales están colocados en la diagonal en el orden siguiente: primero los positivos, luego los negativos y luego los nulos (por eso la notación de los subíndices). Es decir, que . Ahora, podemos definir la base . Es un cálculo sencillo comprobar que en la nueva base la matriz tiene la forma que queremos. |
De hecho, afirmamos que esta es toda la clasificación, es decir, que cualquier forma cuadrática real es equivalente a una y sólo una de las formas anteriores para ciertos
. Que es equivalente a una ya lo hemos visto; veamos que sólo lo es a una demostrando que las formas anteriores no son equivalentes entre sí. Para ver esto tomamos
una forma cuadrática real y
una base
-ortogonal (la matriz
es diagonal) y definimos:
Vamos a demostrar que
son independientes de la base
-ortogonal escogida. Por tanto, las matrices anteriores, como tienen estos números distintos, no son equivalentes, y habremos completado la clasificación.
Si son dos bases -ortogonales, entonces . |
Claramente es independiente de la base escogida (ya vimos en el apartado de la clasificación compleja que el rango sólo dependía de la forma cuadrática y no de la base). Veamos los otros. Claramente , donde denota la suma directa (pues son bases). Consideremos la aplicación siguiente: ,
con la inclusión de en y la proyección de en . Veamos que es inyectiva. Como es lineal, basta ver que su núcleo se anula. Tomamos y sea , donde están unívocamente determinados porque los espacios están en suma directa. Supogamos pues que . Entonces, , por lo que y . Pero y , por lo que necesariamente , y , pues y cualquier otro vector de tiene . Por tanto, se tiene que . Por simetría obtenemos la igualdad. Ahora, como e no dependen de la base, tampoco depende . |
Este resultado se conoce como ley de inercia de Sylvester e
índices de inercia positivo y negativo de la forma cuadrática y al par
, signatura. Hemos visto que una forma cuadrática queda totalmente clasificada por el par
, pero también basta el par
, donde
es el rango de la forma cuadrática (
queda determinado como
). Para calcular los índices de inercia de una forma cuadrática determinada se puede usar el método de Gauss para transformar la matriz de la forma en una matriz diagonal repitiendo mismas transformaciones por filas y por columnas para no perder la simetría (si no no sería un cambio de base de formas cuadráticas). Se acaba llegando a una matriz diagonal porque la matriz original es simétrica. En la matriz resultante basta contar los elementos positivos para obtener
.
- Cuando
se dice que la forma cuadrática es real. - Dos formas cuadráticas pueden ser:
- linealmente equivalentes en
si las signaturas de ambas formas cuadráticas coinciden. - linealmente equivalentes en
si los rangos de las matrices de las formas cuadráticas coinciden. - métricamente equivalentes si poseen el mismo polinomio característico.
- Una forma cuadrática define un espacio vectorial euclídeo si y sólo si es definida positiva, lo cual se puede comprobar utilizando el criterio de Sylvester.
Se dice que una forma cuadrática
es definida si para todo
se verifica:
![{\displaystyle q(x)=b_{p}(x,x)\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d88f7c3c54718f6feb31d6d3ec0d8e18ee67401)
siendo
la forma polar de la forma cuadrática.
En el caso antes mencionado, si una forma cuadrática es definida entonces:
- o es definida positiva
![{\displaystyle q(x)>0\quad \forall x\in V\quad 0\neq x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d7229fb74a3bd1829835b63facda2299af4caca)
- o es definida negativa
![{\displaystyle q(x)<0\quad \forall x\in V\quad 0\neq x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/832bd2ca33191a3a11666f40437d544f2127f39a)
Demostración |
Se procederá por reducción al absurdo. Supongamos que q es definida y que existen q(x)<0 y q(y)>0 y se busca , Desarrollando se tiene: ![{\displaystyle \ q(\lambda x+y)=\lambda ^{2}q(x)+2\lambda b_{p}(x,y)+q(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997660193e4048deb3e403206d2e461e960dd635) Despejando ![{\displaystyle \lambda ={\dfrac {-b_{p}(x,y)\pm {\sqrt {b_{p}(x,y)^{2}-q(x)q(y)}}}{q(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb32d66c99f3d65f7c16996d61594edf4908b849) Como q(x)<0 y q(y)>0 el discriminante es positivo y existe solución distinta de la trivial que verifica con lo que se llega a un absurdo pues se supuso que la forma cuadrática era definida. |
Una forma cuadrática es definida positiva (negativa) si todos los autovalores de su matriz asociada son positivos (negativos)
Demostración |
Sea A la matriz asociada a la forma polar de la forma cuadrática. Entonces Dado que A es una matriz simétrica existe una base de autovectores ortogonales con autovalores . En la base de autovectores se tiene Operando (omitiendo sumatorios): ![{\displaystyle q(x)=x^{t}Ax=c_{j}e_{j}\lambda _{i}c_{i}e_{i}=\lambda _{i}c_{i}c_{j}\delta _{i}^{j}=\lambda _{i}c_{i}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9fa4fdfda83ca7c13d79a91e71b22562487ce18) Que es positivo (negativo) en general si y solo si |
Representación gráfica
[editar] El caso de que
, una forma cuadrática, puede representarse por un conjunto de cónicas. Si la signatura de la forma cuadrática es 2, entonces las curvas serán un conjunto de elipses, si la signatura es 1 será un conjunto de parábola y si la signatura es 0 entonces será un conjunto de hipérbolas.
A todos los vectores cuyo extremo caiga sobre la misma curva cuadrática se les asignará el mismo valor numérico.
Sea la forma cuadrática
definida por
, con
simétrica. Esta matriz es diagonalizable ortogonalmente siempre.
Si pensamos en la factorización
con
una matriz ortogonal compuesta por autovectores de
y
una matriz diagonal compuesta por los autovalores de
en su diagonal, vemos que la forma cuadrática se reduce a
Si llamamos
, entonces tenemos que
. Reemplazando en la ecuación anterior tenemos que
Y sabemos que
, con
autovalor de
. Por lo que si el cambio de variables propuesto es tal que
tenemos que
A este tipo de forma cuadrática se la llama "forma cuadrática sin productos cruzados".
Sean,
los autovalores de
ordenados de forma decreciente. Es decir,
. Entonces tenemos que
Por otro lado, observando bien el siguiente término, nos damos cuenta de que
. Por lo tanto,
Pero una de las propiedades fundamentales de las matrices ortogonales es que conservan el producto interno, pues en particular
. Entonces, finalmente tenemos que
Y ocurre que
cuando el vector
y también
cuando el vector
, siendo
y
los autoespacios asociados a los autovalores máximo y mínimo respectivamente.
- Luis Merino, Evangelina Santos: Álgebra lineal con métodos elementales