Primer teorema de la incompletitud de Gödel , la enciclopedia libre
El primer teorema de incompletitud de Gödel es un teorema enunciado por el lógico-matemático austríaco Kurt Gödel en 1931, en su artículo Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I (Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados, en español), donde demuestra la indecibilidad de teorías axiomáticas.
Enunciado
[editar]El enunciado del teorema puede entenderse sin necesidad de abordar la teoría, y se entiende como sigue:
Cualquier teoría aritmética recursiva que sea consistente es incompleta.[1] |
O bien, puede enunciarse más formalmente[2] como:
Sea una teoría semirrecursiva que interprete a , en la que no pueda probarse la traducción de ninguna sentencia de que sea falsa en el modelo natural. Entonces la sentencia de Gödel de no es demostrable ni refutable en . |
donde definimos que un lenguaje formal es recursivo si son recurvas las relaciones , y que se cumplen, respectivamente, cuando el número es una variable, un relator o funtor de , así como la función Nar(k) que vale cero excepto sobre relatores y funtores, en los cuales es igual a su número de argumentos.
Una teoría axiomática es recursiva (respec. semirrecursiva) si el conjunto de sus axiomas (como números naturales) es recursivo (respec. semirrecursivo).
Si es una teoría semirrecursiva que interprete a , podemos considerar la fórmula , así como su traducción a . Además, existe una sentencia aritmética del lenguaje de tal que A cualquier sentencia que cumpla esta propiedad se le denomina sentencia de Gödel para la teoría .
Demostración
[editar]Por hipótesis hay fórmulas no demostrables en , luego podemos suponer que es consistente. Queremos probar que si es semirrecursiva, consistente y extiende a , entonces las sentencias de Gödel de no son demostrables en .
En efecto, si entonces , luego , donde la última fórmula es traducción a de la anterior, luego, por definición de sentencia de Gödel, , y resulta que es contradictoria.
Así, no es demostrable, luego . así la traducción a de esta sentencia no es demostrable en , pero por definición de sentencia de Gödel tal traducción es equivalente a en , por lo tanto en las hipótesis del teorema no es demostrable en .
Véase también
[editar]Referencias
[editar]- Gödel, Kurt (1931). Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I. Monatshefte für Mathematik und Physik (38): 173-198. doi:10.1007/BF01700692
- Gödel, Kurt (1962). On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems. (Bernard Meltzer, trad.). Basic Books. ISBN 0-486-66980-7.
- ↑ Versión de Rosser
- ↑ Ivorra, Carlos. Lógica Matemática. p. 335-336.