Representación adjunta , la enciclopedia libre
En matemáticas, la representación adjunta (o acción adjunta) de un grupo de Lie es una forma de representar los elementos del grupo como transformaciones lineales del álgebra de Lie del grupo, considerado como un espacio vectorial. Por ejemplo, si es el grupo de Lie de matrices invertibles reales n por n, entonces la representación adjunta es el homomorfismo de grupo que envía una matriz invertible n por n, siendo un endomorfismo del espacio vectorial de todas las transformaciones lineales de definido por .
Para cualquier grupo de Lie, esta representación natural se obtiene linealizando (es decir, tomando el diferencial de) la acción de sobre sí mismo mediante conjugación. La representación adjunta se puede definir para grupos algebraicos lineales sobre campos arbitrarios.
Definición
[editar]Sea G un grupo de Lie y sea
ser el mapeo con Aut(G) el grupo de automorfismo de y dado por el automorfismo interno (conjugación)
Este es un homomorfismo de grupo de Lie.
Para cada en , definido siendo la derivada de en el origen:
donde es el diferencial de es el espacio tangente al origen ( siendo la identidad del elemento del grupo ). Desde es un automorfismo del grupo Lie, es un Automorfismo álgebra de Lie; una invertible aplicación lineal de el mismo conserva el Álgebra de Lie. Además, desde que es un grupo homomorfismo, también es un homomorfismo de grupo. Por lo tanto, el mapa
es un representación de grupo llamado el representación adjunta de .
Si es una Correspondencia grupo de Lie-álgebra de Lie del grupo general (llamado grupo de Lie lineal inmenso), entonces la álgebra de Lie consiste en matrices y de Aplicación exponencial (teoría de Lie) es la matrix exponencial para matrices con peqeñas normas operativas. Nosotroa calcularemos la derivada de de . Para en y pequeña en , la curba a derivado a , uno entonces obtiene:
Bibliografía
[editar]- Fulton William; Joe Harris (1991). Teoría de la representación. Un primer curso. Textos de Posgrado en Matemáticas, Lecturas en Matemáticas. vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi: 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN: 978-0-387-97495-8 MR 1153249. OCLC 246650103
Enlaces externos
[editar]- Esta obra contiene una traducción total derivada de «https://en.wikipedia.org/wiki/Adjoint_representation» de Wikipedia en inglés, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.