Teorema de los residuos , la enciclopedia libre

El teorema de los residuos es consecuencia directa del Teorema integral de Cauchy y forma parte fundamental de la teoría matemática de análisis complejo.

Sea ${\displaystyle f\colon D\subset \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ una función analítica en un dominio simplemente conexo ${\displaystyle D}$, excepto en un número finito de puntos ${\displaystyle z_{k}}$ que constituyen singularidades aisladas de ${\displaystyle f}$. Sea ${\displaystyle C}$ una curva en ${\displaystyle D}$, simple, cerrada, regular a trozos, con orientación positiva y tal que el dominio que esta define contiene las singularidades de ${\displaystyle f}$. Entonces se tiene:

${\displaystyle \oint _{C}f(z)dz=2\pi i\sum _{k}\operatorname {Res} (f,z_{k})}$

donde ${\displaystyle \operatorname {Res} (f,z_{k})}$ es el Residuo de la función ${\displaystyle f}$ en el punto singular ${\displaystyle z_{k}}$.

Sea ${\displaystyle f}$ holomorfa usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann la forma diferencial ${\displaystyle f(z)\,dz}$ es cerrada. Por lo tanto, usando el corolario sobre las diferenciales de forma cerrada, un dominio simplemente conexo, se sabe que la integral ${\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz}$ es igual a ${\displaystyle \int _{C'}f(z)\,dz}$ siempre que ${\displaystyle C'}$ sea una curva homotópica con ${\displaystyle C}$.

En específico, se puede considerar una curva tipo ${\displaystyle C'}$ la cual tiene una rotación alrededor de los puntos ${\displaystyle a_{j}}$ sobre círculos pequeños, cuando se unen todos estos pequeños círculos por medio de segmentos.

Ya que la curva ${\displaystyle C'}$ sigue cada segmento 2 veces con alineación opuesta, solo se necesitan sumar las integrales de ${\displaystyle f}$ alrededor de los círculos pequeños.

Consecuentemente sea ${\displaystyle z=a_{j}+\rho e^{i\theta }}$ parametrización de la curva alrededor del punto ${\displaystyle a_{j}}$, entonces se tiene ${\displaystyle dz=\rho ie^{i\theta }\,d\theta }$, por lo tanto:

${\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=\int _{C'}f(z)\,dz=\sum _{j}\eta (C,a_{j})\int _{\partial B_{\rho }(a_{j})}f(z)\,dz=\sum _{j}\eta (C,a_{j})\int _{0}^{2\pi }f(a_{j}+\rho e^{i\theta })\rho ie^{i\theta }\,d\theta }$

donde ${\displaystyle \rho >0}$, escogido tan extremadamente diminuto, tal que las esferas ${\displaystyle B_{\rho }(a_{j})}$ están todas desarticuladas y todas en un mismo dominio ${\displaystyle U}$. Entonces por medio de la linealidad en todas la singularidades, se demuestra que para toda ${\displaystyle j}$:

${\displaystyle i\int _{0}^{2\pi }f(a_{j}+\rho e^{i\theta })\rho e^{i\theta }\,d\theta =2\pi i\mathrm {Res} (f,a_{j}).}$

Sea ${\displaystyle j}$ fija y aplíquese la serie de Laurent para ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle a_{j}:}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }c_{k}(z-a_{j})^{k}}$

de tal forma que ${\displaystyle {\rm {{Res}(f,a_{j})=c_{-1}}}}$, donde c_-1, es el coeficiente de ${\displaystyle {1 \over (z-a_{j})}}$ en la serie de Laurent. Entonces tenemos:

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }f(a_{j}+\rho e^{i\theta })\rho e^{i\theta }\,d\theta =\sum _{k}\int _{0}^{2\pi }c_{k}(\rho e^{i\theta })^{k}\rho e^{i\theta }\,d\theta =\rho ^{k+1}\sum _{k}c_{k}\int _{0}^{2\pi }e^{i(k+1)\theta }\,d\theta .}$

Obsérvese que si ${\displaystyle k=-1}$, se tiene:

${\displaystyle \rho ^{k+1}c_{k}\int _{0}^{2\pi }e^{i(k+1)\theta }\,d\theta =c_{-1}\int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi c_{-1}=2\pi \,\mathrm {Res} (f,a_{j})}$

mientras que para ${\displaystyle k\neq -1}$ se tiene que los términos de la suma se anulan, debido a que:

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{i(k+1)\theta }\,d\theta =\left[{\frac {e^{i(k+1)\theta }}{i(k+1)}}\right]_{0}^{2\pi }=0.}$

${\displaystyle \square }$

• Residuo

• Weisstein, Eric W. «Residue Theorem». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.