Variedad completa , la enciclopedia libre

En matemáticas, en particular en geometría algebraica, una variedad algebraica completa es una variedad algebraica $X$ tal que para cualquier variedad $Y$ el morfismo de proyección

X\times Y\to Y

es una aplicación cerrada (es decir, asigna conjuntos cerrados a conjuntos cerrados).^[1] Esto puede verse como un análogo de la compacidad en geometría algebraica: un espacio topológico $X$ es compacto si y solo si la aplicación de proyección anterior está cerrada con respecto a productos topológicos.

La imagen de una variedad completa es cerrada y es una variedad completa. Una subvariedad cerrada de una variedad completa es completa.

Una variedad compleja es completa si y solo si es compacta como variedad analítica compleja.

El ejemplo más común de una variedad completa es la variedad proyectiva, pero existen variedades completas no proyectivas en dimensiones 2 y superiores. Si bien cualquier superficie no singular completa es proyectiva,^[2] (021) existen variedades completas no singulares en dimensión 3 y superiores que no son proyectivas.^[3] Los primeros ejemplos de variedades completas no proyectivas fueron dados por Masayoshi Nagata^[3] y Heisuke Hironaka.^[4] Un espacio afín de dimensión positiva no está completo.

El morfismo que lleva una variedad completa a un punto es un morfismo propio, en el sentido de un esquema. Se puede dar una justificación intuitiva de completo, en el sentido de que no faltan puntos, basándose en el criterio valorativo de idoneidad, que se remonta a Claude Chevalley.

Referencias

↑ Aquí, la variedad producto $X \times Y$ no conlleva la topología del producto en general; y la topología de Zariski tendrá más conjuntos cerrados (excepto en casos muy simples).
↑ Zariski, Oscar (1958). «Introduction to the Problem of Minimal Models in the Theory of Algebraic Surfaces». American Journal of Mathematics 80: 146-184. JSTOR 2372827. doi:10.2307/2372827.
↑ ^a ^b Nagata, Masayoshi (1958). «Existence theorems for nonprojective complete algebraic varieties». Illinois J. Math. 2: 490-498. doi:10.1215/ijm/1255454111.
↑ Hironaka, Heisuke (1960). On the theory of birational blowing-up (thesis). Harvard University.

Bibliografía

Section II.4 of Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
Capítulo 7 de Milne, James S. (2009), Algebraic geometry, v. 5.20, consultado el 4 de agosto de 2010 .
Sección I.9 de Mumford, David (1999), The red book of varieties and schemes, Lecture Notes in Mathematics 1358 (Second, expanded edición), Springer Science+Business Media, ISBN 978-3-540-63293-1, doi:10.1007/b62130 .
Danilov, V.I. (2001) [1994], Complete algebraic variety, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Hartshorne, Robin (1977). «Appendix B. Example 3.4.1. (Fig.24)». Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics 52. Berlin, New York: Springer Science+Business Media. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157. Zbl 0367.14001.

Datos: Q5156516

[1] Aquí, la variedad producto $X \times Y$ no conlleva la topología del producto en general; y la topología de Zariski tendrá más conjuntos cerrados (excepto en casos muy simples).

[2] Zariski, Oscar (1958). «Introduction to the Problem of Minimal Models in the Theory of Algebraic Surfaces». American Journal of Mathematics 80: 146-184. JSTOR 2372827. doi:10.2307/2372827.

[Nagata-3] Nagata, Masayoshi (1958). «Existence theorems for nonprojective complete algebraic varieties». Illinois J. Math. 2: 490-498. doi:10.1215/ijm/1255454111.

[4] Hironaka, Heisuke (1960). On the theory of birational blowing-up (thesis). Harvard University.

[1]

[2]

[3]

[4]