کروشه پواسون - ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

مکانیک کلاسیک
${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}$ قوانین حرکت نیوتن
تاریخچه گاه‌شمار
بخش‌ها کاربردی سماوی محیط‌های پیوسته تحلیلی سینماتیک سینتیک استاتیک آماری
مفاهیم پایه شتاب تکانه زاویه‌ای کوپل اصل دالامبر انرژی انرژی جنبشی انرژی پتانسیل نیرو چارچوب مرجع ضربه لختی / گشتاور لختی جرم (فیزیک) توان کار گشتاور تکانه فضا سرعت زمان گشتاور نیرو سرعت برداری کار مجازی
فرمول‌سازی‌ها قوانین حرکت نیوتن مکانیک تحلیلی مکانیک لاگرانژی مکانیک هامیلتونی Routhian mechanics معادله هامیلتون-ژاکوبی Appell's equation of motion Udwadia–Kalaba equation Koopman–von Neumann mechanics
موضوعات اصلی نوسانگر هماهنگ (نسبت میرایی) بردار جابجایی معادله حرکت قانون حرکت اویلر شبه‌نیرو اصطکاک نوسانگر هماهنگ دستگاه مرجع لخت / دستگاه مرجع غیر لخت حرکت صفحه‌ای ذره حرکت (حرکت خطی) قانون جهانی گرانش نیوتن قوانین حرکت نیوتن سرعت نسبی جسم صلب دینامیک اجسام صلب معادلات اویلر نوسانگر هماهنگ ساده ارتعاش
چرخش به دور محور ثابت حرکت دایره‌ای دستگاه مرجع چرخان نیروی مرکزگرا نیروی گریز از مرکز عکس العمل اثر کوریولیس آونگ سرعت سرعت دورانی شتاب زاویه‌ای / جابه‌جایی زاویه‌ای / بسامد زاویه‌ای / سرعت زاویه‌ای
دانشمندان گالیله نیوتن کپلر جرمایا هاروکس هالی اویلر دالامبر کلرو لاگرانژ لاپلاس همیلتون پواسون دانیل برنولی یوهان برنولی کوشی
ن ب و

در ریاضیات و مکانیک کلاسیک کروشهٔ پواسون (Poisson bracket) عمل‌گری عمده در مکانیک هامیلتونی است. کروشه پواسون همچنین ارتباط مستقیمی بین مکانیک کوانتوم و مکانیک کلاسیک برقرار می‌کنند.

در مختصات ذاتی ${\displaystyle (q_{i},p_{j})\!}$ بر روی فضای فاز، اجراء عمل دوتایی کروشهٔ پواسون، در مورد دو تابع مفروض ${\displaystyle f(p_{i},q_{i},t)\!}$ و ${\displaystyle g(p_{i},q_{i},t)\!}$ در فضای فاز و زمان، فرم زیر را به‌خود می‌گیرد:

معادلات ژاکوبی-هامیلتون را می‌توان بر حسب کروشهٔ پواسون به‌صورت معادل زیر هم بیان کرد. این موضوع را می‌شود به‌طور مستقیم در یک دستگاه مختصات عادی نشان داد. فرض می‌کنید ${\displaystyle f(p,q,t)\!}$ تابعی است بر روی یک خمینه. آنگاه داریم:

چنانچه ${\displaystyle p=p(t)\!}$ و ${\displaystyle q=q(t)\!}$ را جواب‌های معادلات هامیلتون-ژاکوبی ${\displaystyle {\dot {q}}={\partial H}/{\partial p}}$ و ${\displaystyle {\dot {p}}=-{\partial H}/{\partial q}}$ در نظر بگیریم خواهیم داشت:

${\displaystyle \{F,H\}=-\{H,F\}}$

یک نتیجه سریع از این خاصیت آن است که ${\displaystyle \{F,F\}=0}$ که برای هر تابعی برقرار است.

${\displaystyle \{F_{1}+F_{2},H\}=\{F_{1},H\}+\{F_{2},H\}}$

کروشهٔ پواسون قدرت واقعی خود را در یافتن ثابت‌های حرکت نشان می‌دهد. ثابت حرکت تابعی در فضای فاز است که به زمان وابستگی صریح ندارد،${\displaystyle F(q_{i},p_{i})}$، و مقدارش برای هر ذره ای ثابت است. به بیان دیگر ${\displaystyle F(q_{i},p_{i})}$ ثابت حرکت است اگر که ${\displaystyle {\frac {dF}{dt}}=0}$ باشد. چون ما بیان کردیم که تابع ${\displaystyle F}$ وابستگی صریح به زمان ندارد یعنی ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial t}}=0}$ است، پس این تعریف از ثابت حرکت به این معناست که:

${\displaystyle F}$ ثابت حرکت است اگر و تنها اگر برای تمام نقاط در فضای فاز داشته باشیم: ${\displaystyle \{F,H\}=0}$

ثابت‌های حرکت آشنا را می‌توان اکنون با توجه به این دستور العمل ساده دوباره بدست آورد:

دیدیم که به خاطر خاصیت پاد تقارنی براکت پواسون ${\displaystyle \{H,H\}=0}$ . با استفاده از این ویژگی به این نتیجه می رسیم که:

${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial t}}}$

در حالتی که هامیلتونین وابستگی صریح به زمان نداشته باشد به این نتیجه می رسیم که هامیلتونین یک ثابت حرکت است. انرژی در صورتی پایسته می‌ماند که وابستگی صریح به زمان نداشته باشد.

در حالتی که هامیلتونین شامل یک مختصه تعمیم یافته خاص، ${\displaystyle q_{k}}$، نباشد، با استفاده از تعریف فوق خواهیم داشت:

${\displaystyle \{p_{k},H\}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}}$

بنابراین ${\displaystyle p_{k}}$ ثابت حرکت است. تکانه پایسته می‌ماند اگر مختصه تعمیم یافته متناظرش ${\displaystyle q_{k}}$ در هامیلتونین ظاهر نشده باشد.