Cette figure montre qu'un argument n'est pas unique. Ajouter 2 π {\displaystyle 2\pi } à un argument (i.e. faire un tour de plus) donne toujours un argument. En mathématiques , plus précisément en analyse complexe , un argument d’un nombre complexe z est une mesure de l'angle entre la demi-droite des nombres réels positifs (l'axe des abscisses ) et celle issue de l'origine et passant par le point représenté par z (voir la figure ci-contre). La notion d'argument n'a pas de sens pour zéro . On mesure un argument en radians . Il n'y a pas de valeur unique pour un argument puisque les angles sont les mêmes modulo 2π . Si l'on souhaite une valeur unique, on peut utiliser la notion d'argument principal , qui est l'unique valeur dans ] − π , π ] {\displaystyle ]-\pi ,\pi ]} .
Dans le plan complexe, si z est l'affixe du point M , alors un argument de z correspond à une mesure de l'angle ( O x → , O M → ) {\displaystyle ({\overrightarrow {Ox}},\;{\overrightarrow {OM}})} . Étant donné un nombre complexe z non nul, un argument de z est une mesure (en radians, donc modulo 2π) de l’angle :
( O x → , O M → ) {\displaystyle ({\overrightarrow {Ox}},\;{\overrightarrow {OM}})} où M est l'image de z dans le plan complexe , c'est-à-dire le point d'affixe z .
De manière équivalente, un argument de z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} est un nombre réel θ {\displaystyle \theta } tel que :
cos θ = ℜ ( z ) | z | = x x 2 + y 2 et sin θ = ℑ ( z ) | z | = y x 2 + y 2 {\displaystyle \cos \theta ={\frac {\Re (z)}{|z|}}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\quad {\text{et}}\quad \sin \theta ={\frac {\Im (z)}{|z|}}={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}} ,Représentation des valeurs possibles de l'argument, avec sa branche principale hachurée en rouge. où ℜ ( z ) = x {\displaystyle \Re (z)=x} , ℑ ( z ) = y {\displaystyle \Im (z)=y} et | z | {\displaystyle \left|z\right|} sont respectivement les parties réelle et imaginaire et le module de z .
Souvent, on note un argument du nombre complexe z de façon simplifiée par :
arg z = θ {\displaystyle \arg z=\theta } ou plus précisément :
arg z ≡ θ mod 2 π {\displaystyle \arg z\equiv \theta {\bmod {2\pi }}} . Remarque : en anglais, on parle parfois de la phase [ 1] ou de l'amplitude [ 2] d'un nombre complexe : p h ( z ) {\displaystyle \mathrm {ph} (z)} .
L'argument principal de z , noté Arg z {\displaystyle {\text{Arg }}z} , est la mesure principale de l'angle ( O x → , O M → ) {\displaystyle ({\overrightarrow {Ox}},\;{\overrightarrow {OM}})} , soit celle qui appartient à l'intervalle ] − π , π ] {\displaystyle ]-\pi ,\pi ]} ; on a donc : arg z ≡ Arg z mod 2 π {\displaystyle \arg z\equiv {\text{Arg }}z{\bmod {2\pi }}} .
Si z n'est pas un imaginaire pur , tan ( arg z ) = y x = z − z ¯ i ( z + z ¯ ) {\displaystyle \tan(\arg z)={\frac {y}{x}}={\frac {z-{\bar {z}}}{\mathrm {i} \left(z+{\bar {z}}\right)}}} , où z ¯ {\displaystyle {\bar {z}}} est le conjugué de z et donc : si x = ℜ ( z ) > 0 {\displaystyle x=\Re (z)>0} , Arg z = Arctan y x = Arctan z − z ¯ i ( z + z ¯ ) {\displaystyle {\text{Arg }}z={\text{Arctan}}{\frac {y}{x}}={\text{Arctan}}{\frac {z-{\bar {z}}}{\mathrm {i} \left(z+{\bar {z}}\right)}}} . De manière plus générale, l'argument principal d'un nombre complexe z non nul est entièrement déterminé de la façon suivante : Arg z = { 2 Arctan y x + x 2 + y 2 si z ∉ R − π si z ∈ R − ∗ . {\displaystyle {\text{Arg }}z={\begin{cases}2{\text{ Arctan}}{\frac {y}{x+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\text{si }}z\notin \mathbb {R} _{-}\\\pi &{\text{si }}z\in \mathbb {R} _{-}^{*}{\text{.}}\end{cases}}} Cette expression se déduit d'une des formules de l'arc moitié , tan θ 2 = sin θ 1 + cos θ {\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}} .
Soient z , z 1 et z 2 des complexes non nuls. On a, mod 2 π {\displaystyle {\bmod {2\pi }}} :
arg ( z 1 z 2 ) ≡ arg z 1 + arg z 2 {\displaystyle \arg(z_{1}z_{2})\equiv \arg z_{1}+\arg z_{2}} . En particulier :
pour tout réel a non nul : arg ( a z ) ≡ { arg z si a > 0 ( arg z ) + π si a < 0 ; {\displaystyle \arg(az)\equiv {\begin{cases}\arg z&{\text{si }}a>0\\(\arg z)+\pi &{\text{si }}a<0{\text{ ;}}\end{cases}}} pour tout entier relatif n : arg ( z n ) ≡ n arg z {\displaystyle \arg(z^{n})\equiv n\arg z} . Si A , B , C et D sont quatre points deux à deux distincts du plan complexe d'affixes respectives a , b , c et d , alors :
( A B → , C D → ) ≡ arg d − c b − a mod 2 π {\displaystyle ({\overrightarrow {AB}},\;{\overrightarrow {CD}})\equiv \arg {\frac {d-c}{b-a}}{\bmod {2\pi }}} . ↑ (en) Dictionary of Mathematics , 2002, « phase ». ↑ (en) Konrad Knopp et Frederick Bagemihl, Theory of Functions Parts I and II , Dover Publications, 1996 , 150 p. (ISBN 978-0-486-69219-7 ) , p. 3 .