Base duale — Wikipédia

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En algèbre linéaire, la base duale est une base de l'espace dual E* d'un espace vectoriel E de dimension finie, construite à partir d'une base de E. Il est rappelé que E* est l'espace des formes linéaires sur E. La réduction des formes quadratiques est un exemple dans lequel les bases duales peuvent intervenir. Elles interviennent aussi pour transporter des structures géométriques d'un espace vectoriel réel ou complexe sur son espace dual, ce qui intervient notamment en géométrie différentielle.

Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps K. Soit B = (e₁, … , e_n) une base de E, c'est-à-dire que tout vecteur v de E s'écrit de manière unique comme une combinaison linéaire des vecteurs e_i :

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}e_{i}^{*}(v)e_{i}\,,}$

où ${\displaystyle e_{i}^{*}(v)}$ est un scalaire (un élément du corps K). L'application ${\displaystyle v\mapsto e_{i}^{*}(v)}$ est une forme linéaire sur E. L'application ${\displaystyle e_{i}^{*}}$ peut aussi être définie comme l'unique forme linéaire sur E vérifiant, pour tout entier j entre 1 et n, ${\displaystyle e_{i}^{*}(e_{j})=\delta _{ij}}$ où ${\displaystyle \delta _{ij}}$ est le symbole de Kronecker (qui vaut 1 ou 0 suivant que i et j sont égaux ou non).

La famille (e₁*, … , e_n*) forme une base de l'espace dual E*^[1], appelée la base duale de B et notée B*.

De plus, toute forme linéaire u sur E s'écrit :

${\displaystyle u=\sum _{i=1}^{n}u(e_{i})e_{i}^{*}.}$       (1)

Cette construction suffit à montrer qu'un espace vectoriel de dimension finie et son dual ont la même dimension.

Il existe une injection canonique ι de E dans son bidual E** (le dual du dual de E), donnée par l'évaluation des formes linéaires en les vecteurs : ${\displaystyle \iota (v)(\lambda )=\lambda (v).}$ Comme E, E* et E** ont même dimension finie, cette application linéaire injective est un isomorphisme. Une autre manière de prouver sa surjectivité est la suivante. Soit (e₁**, … , e_n**) la base duale de (e₁*, … , e_n*). L'équation (1) se traduit par :

${\displaystyle \iota (e_{i})=e_{i}^{**}}$.

On parle aussi d'injection naturelle, à la suite de l'article fondateur de la théorie des catégories de Samuel Eilenberg et Saunders MacLane^[2] : les auteurs partent en effet du constat qu'il existe certes un isomorphisme entre un espace vectoriel et son espace dual, mais que cet isomorphisme ne peut être formulé indépendamment de la base particulière que l'on choisit ; tandis qu'il existe, d'un espace vectoriel dans son bidual, une injection linéaire « naturelle », dans le sens où elle est indépendante de la base adoptée.

Soient B et C deux bases de E et B* et C* leurs bases duales. Si P est la matrice de passage de B à C, alors^[3] celle de B* à C* est ^tP⁻¹.

En effet, en notant C = (f₁, … , f_n) et C* = (f₁*, … , f_n*), l'équation (1) donne

${\displaystyle e_{j}^{*}=\sum _{i=1}^{n}e_{j}^{*}(f_{i})f_{i}^{*}=\sum _{i=1}^{n}P_{j,i}f_{i}^{*},}$

ce qui signifie que la matrice de passage de C* à B* est la transposée de P. Celle de B* à C* est l'inverse.

Soit Q une forme quadratique sur un espace vectoriel réel E. Alors il existe une base (e₁, … , e_n) de E, telle que ${\displaystyle Q=l_{1}^{2}+\dots +l_{p}^{2}-l_{p+1}^{2}-\dots -l_{p+q}^{2}}$ où (l₁, … , l_n) est la base duale de (e₁, … , e_n).

L'espace vectoriel défini par les p + q équations l_i = 0 pour i ≤ p + q est le noyau de Q. Les entiers p et q ne dépendent pas du choix de la base e, et le couple (p, q) s'appelle la signature de Q.

Soit B = (x₁, … , x_n) une base d'un espace vectoriel E de dimension n et soit (x₁*, … , x_n*) sa base duale. On définit la famille d'endomorphismes ${\displaystyle (e_{ij})_{1\leq i,j\leq n}}$ appelés envoyeurs de Ménard^{[réf. nécessaire]} par :

${\displaystyle e_{ij}:{\begin{array}{lcl}E&\rightarrow &E\\x&\mapsto &x_{j}^{*}(x)x_{i}\end{array}}}$

Cette famille forme une base de l'espace L(E) des applications linéaires de E dans E, et la matrice de e_{i j} dans la base B est l'unité matricielle (en) E_i,j qui présente un 1 à l'intersection de la i-ième ligne avec la j-ième colonne et des 0 partout ailleurs.

Plus généralement (cf. Produit tensoriel de deux applications linéaires), à partir d'une base du dual d'un espace vectoriel E de dimension finie et d'une base d'un espace F de dimension quelconque, on construit de même une base de l'espace des applications linéaires de E dans F.

v · m Algèbre linéaire générale
Vecteur Scalaire Combinaison linéaire Espace vectoriel Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice Famille libre (indépendance linéaire) Base Théorème de la base incomplète Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels Rang Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel Somme de Minkowski Somme directe Sous-espace supplémentaire Dimension Codimension Droite Plan Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire Noyau Conoyau Lemme des noyaux Pseudo-inverse Théorème de factorisation Théorème du rang Équation linéaire Système d'équations linéaires Élimination de Gauss-Jordan Forme linéaire Espace dual Orthogonalité Base duale Endomorphisme linéaire Valeur propre, vecteur propre et espace propre Projecteur Symétrie Matrice diagonalisable Diagonalisation Endomorphisme nilpotent
Dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie Trace Déterminant Polynôme caractéristique Polynôme d'endomorphisme Théorème de Cayley-Hamilton Polynôme minimal d'un endomorphisme Invariants de similitude Réduction d'endomorphisme Réduction de Jordan Décomposition de Dunford Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme Produit scalaire Forme quadratique Espace vectoriel topologique Orientation Algèbre sur un corps Algèbre de Lie Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices Représentation de groupe Analyse fonctionnelle Algèbre multilinéaire Module sur un anneau

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