Cinétique du point matériel ou sans masse — Wikipédia

La cinétique du point matériel ou sans masse est une théorie définissant le mouvement d'une particule de masse^[1] positive ou nulle dans un référentiel en tenant compte de son inertie (c'est-à-dire principalement de sa masse inerte).

La cinétique du point matériel apparaît sous sa forme classique^[2] avec Isaac Newton (1643 - 1727) ; plus de deux siècles plus tard - en 1905 - Albert Einstein (1879 - 1955) crée la cinétique des particules matérielles sous sa forme relativiste^[3] ainsi que celle du photon (base de la cinétique des particules sans masse^[4]).

On définit trois grandeurs cinétiques pour décrire le mouvement d'une particule dans un référentiel en tenant compte de son inertie :

La quantité de mouvement d'une particule est usuellement notée ${\displaystyle {\vec {p}}}$, sa définition dépend de la cinétique utilisable :

où ${\displaystyle m>0}$ est la masse de la particule et ${\displaystyle {\vec {v}}}$ sa vitesse (avec ${\displaystyle \lVert {\vec {v}}\rVert \ll c}$ correspondant pratiquement à ${\displaystyle \lVert {\vec {v}}\rVert <{\tfrac {c}{10}}}$).

Pour une particule ayant une masse ${\displaystyle m>0}$ et une vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}}$ (avec ${\displaystyle \lVert {\vec {v}}\rVert <c\;\color {white}{.}}$)^[5] :

(si la masse ${\displaystyle m\rightarrow 0}$, ${\displaystyle \lVert {\vec {v}}\rVert \rightarrow c\Rightarrow \gamma \rightarrow \infty }$ rendant la formule inapplicable dans le cas limite des particules de masse nulle).

Pour des particules de masse nulle (essentiellement des photons) :

la première étant de norme variable^[6] et la seconde de norme constante.

Dans le système international d'unités (ou ${\displaystyle S.I.}$), la norme de la quantité de mouvement s'exprime en ${\displaystyle kg\!\cdot \!m\!\cdot \!s^{-1}}$.

Le moment cinétique d'une particule (relativement à un point ${\displaystyle O}$ du référentiel) est noté ${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{O}}$ (ou ${\displaystyle {\vec {L}}_{O}}$).

Ce dernier est défini comme le « moment de la quantité de mouvement calculé par rapport à ${\displaystyle O}$ »^[7]

où ${\displaystyle M}$ est la position de la particule à l'instant considéré.

Dans le système international d'unités (ou ${\displaystyle S.I.}$), la norme du moment cinétique d'une particule s'exprime en ${\displaystyle kg\!\cdot \!m^{2}\!\!\cdot \!s^{-1}}$.

L'énergie cinétique est la seule grandeur scalaire parmi les trois principales^[8], elle est usuellement notée ${\displaystyle E_{c}}$ (ou ${\displaystyle E_{k}}$ ou encore ${\displaystyle K}$), sa définition dépend de la cinétique utilisable :

Pour une particule de masse ${\displaystyle m>0}$, de vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}}$ (avec ${\displaystyle \lVert {\vec {v}}\rVert <c}$) et de facteur de Lorentz « ${\displaystyle \gamma >1}$ »^[9] :

le plus souvent on remplace l'utilisation de l'énergie cinétique ${\displaystyle E_{c}}$ par l'énergie totale ${\displaystyle E}$ ; celle-ci est l'énergie cinétique décalée d'une constante égale à l'énergie de masse ${\displaystyle \color {white}{\text{.}}\,\color {black}{E_{0}=m\,c^{2}}\,\color {white}{\text{.}}}$ c.-à-d. :

Pour des particules de masse nulle :

Dans le système international d'unités (ou ${\displaystyle S.I.}$), l'énergie cinétique^[12] s'exprime en joules de symbole ${\displaystyle \mathrm {J=kg\!\cdot \!m^{2}\!\!\cdot \!s^{-2}} }$.

Cette cinétique^[13] s'applique aux particules ayant une masse ${\displaystyle m>0}$ et une vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}}$ telle que ${\displaystyle \lVert {\vec {v}}\rVert \ll c}$ (où ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière dans le vide), ce qui correspond approximativement à ${\displaystyle \lVert {\vec {v}}\rVert \lesssim {\tfrac {c}{10}}}$ et plus précisément à ${\displaystyle \lVert {\vec {v}}\rVert \lesssim 0,14\;c\simeq 42000\;km\!\cdot \!s^{-1}}$ à 1 % près^[14] ;

bien que la masse d'une particule soit invariante par changement de référentiel, la cinétique - comme la cinématique - dépend du référentiel.

Pour toute particule matérielle et dans tout référentiel on a défini trois grandeurs cinétiques, deux vectorielles sa quantité de mouvement ainsi que son moment cinétique relativement à O (point fixe ou mobile du référentiel) et une scalaire son énergie cinétique.

Formellement la grandeur cinétique ${\displaystyle {\vec {p}}}$ est le produit de la grandeur cinématique ${\displaystyle {\vec {v}}}$ et de la grandeur d'inertie ${\displaystyle m}$, elle représente une réserve vectorielle exprimant le mouvement mais aussi l'inertie de la particule.

Formellement le moment cinétique relativement à ${\displaystyle O}$ est le produit vectoriel de « ${\displaystyle {\overrightarrow {OM}}}$ »^[15] et de la première grandeur cinétique, « la quantité de mouvement ${\displaystyle {\vec {p}}}$ », il représente vectoriellement une réserve exprimant le mouvement mais aussi l'inertie de la particule, le tout relativement au point ${\displaystyle O}$.

${\displaystyle O}$ et ${\displaystyle O'}$ étant deux points quelconques (fixes ou mobiles dans le référentiel ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$), les moments cinétiques de la particule relativement à chaque point ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\vec {\sigma }}_{O}\;\color {white}{.}}$ et ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\vec {\sigma }}_{O'}\;\color {white}{.}}$ sont liés entre eux par :${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}\qquad {\vec {\sigma }}_{O'}={\vec {\sigma }}_{O}+{\overrightarrow {O'O}}\wedge {\vec {p}}}$.

Preuve : dans la définition de ${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{O'}={\overrightarrow {O'M}}\wedge {\vec {p}}}$, on utilise la relation de Chasles ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\overrightarrow {O'M}}={\overrightarrow {O'O}}+{\overrightarrow {OM}}\;\color {white}{.}}$ d'où ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\vec {\sigma }}_{O'}=\left({\overrightarrow {O'O}}+{\overrightarrow {OM}}\right)\wedge {\vec {p}}\;\color {white}{.}}$ puis la distributivité du produit vectoriel par rapport à l'addition soit ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\vec {\sigma }}_{O'}={\overrightarrow {O'O}}\wedge {\vec {p}}+{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {p}}\;\color {white}{.}}$ dont on tire la relation cherchée, en reconnaissant dans le dernier terme le moment cinétique relativement à ${\displaystyle O}$, soit ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\vec {\sigma }}_{O'}={\overrightarrow {O'O}}\wedge {\vec {p}}+{\vec {\sigma }}_{O}={\vec {\sigma }}_{O}+{\overrightarrow {O'O}}\wedge {\vec {p}}}$.

Si on choisit l'origine ${\displaystyle O}$ de calcul des moments sur la trajectoire de la particule, on a ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\overrightarrow {OM}}\parallel {\vec {p}}\;\color {white}{.}}$ et, par définition du produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires, ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\vec {\sigma }}_{O}={\vec {0}}}$.

Dans le cas d'un mouvement de rotation de rayon ${\displaystyle r}$ autour du point ${\displaystyle O}$, de vecteur rotation ${\displaystyle {\vec {\Omega }}}$ (ou résultante du torseur cinématique) ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\vec {\Omega }}=\omega \,{\vec {u}}_{\Delta }\;\color {white}{.}}$ où ${\displaystyle \omega }$ est la vitesse angulaire de rotation autour de l'axe ${\displaystyle \Delta }$ passant par ${\displaystyle O}$ et ${\displaystyle {\vec {u}}_{\Delta }}$ le vecteur unitaire de l'axe définissant le sens positif de rotation, le vecteur vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}}$ de la particule positionnée en ${\displaystyle M}$ à l'instant considéré s'exprime selon :

Si on reporte l'expression du vecteur vitesse dans la définition du moment cinétique en ${\displaystyle O}$ on obtient ${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{O}={\overrightarrow {OM}}\wedge m\left({\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {OM}}\right)}$ ou encore ${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{O}=m\left[{\overrightarrow {OM}}\wedge \left({\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {OM}}\right)\right]}$ et, en utilisant la formule du double produit vectoriel ${\displaystyle {\vec {A}}\wedge \left({\vec {B}}\wedge {\vec {C}}\right)=\left({\vec {A}}\cdot {\vec {C}}\right){\vec {B}}-\left({\vec {A}}\cdot {\vec {B}}\right){\vec {C}}}$, cela donne ${\displaystyle {\overrightarrow {OM}}\wedge \left({\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {OM}}\right)=\left({\overrightarrow {OM}}\cdot {\overrightarrow {OM}}\right){\vec {\Omega }}-{\cancel {\left({\overrightarrow {OM}}\cdot {\vec {\Omega }}\right){\overrightarrow {OM}}}}=r^{2}\,{\vec {\Omega }}}$ car ${\displaystyle {\overrightarrow {OM}}\perp {\vec {\Omega }}\quad {\text{et}}\quad \lVert {\overrightarrow {OM}}\rVert =r}$ ; finalement :

Dans le système international d'unités (ou ${\displaystyle S.I.}$) le moment d'inertie s'exprime en ${\displaystyle kg\!\cdot \!m^{2}}$.

Le moment d'inertie est une deuxième grandeur d'inertie introduite (la première étant la masse) et, à l'aide de cette autre grandeur d'inertie, on retrouve, dans le cas de la rotation d'une particule, la relation formelle écrite dans le cas général à savoir :

Le mouvement étant plan, on y choisit ${\displaystyle O}$ fixe ; on repère la particule par ses coordonnées polaires ${\displaystyle \left(r,\,\theta \right)}$ dans le plan ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ du mouvement, ce plan étant orienté par le vecteur unitaire ${\displaystyle {\vec {u}}_{z}}$ de l'axe ${\displaystyle z'z}$ passant par ${\displaystyle O}$ et ${\displaystyle \perp }$ au plan ${\displaystyle \left(x,y\right)}$, tel que la base cartésienne ${\displaystyle \left({\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y},\,{\vec {u}}_{z}\right)}$, choisie orthonormée, soit directe [base encore notée ${\displaystyle \left({\hat {x}},\,{\hat {y}},\,{\hat {z}}\right)}$] ; la base polaire associée à la particule est notée ${\displaystyle \left({\vec {u}}_{r},\,{\vec {u}}_{\theta }\right)}$ ou ${\displaystyle \left({\hat {r}},\,{\hat {\theta }}\right)}$, c'est un cas particulier de la base cylindrique d'axe ${\displaystyle z'z}$ notée ${\displaystyle \left({\vec {u}}_{r},\,{\vec {u}}_{\theta },\,{\vec {u}}_{z}\right)}$ ou ${\displaystyle \left({\hat {r}},\,{\hat {\theta }},\,{\hat {z}}\right)}$ également directe ;

la particule, positionnée en ${\displaystyle M}$ à l'instant considéré, a un vecteur position ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\overrightarrow {OM}}=r\,{\vec {u}}_{r}\;\color {white}{.}}$ et un vecteur vitesse ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\vec {v}}={\dot {\overrightarrow {OM}}}={\dot {r}}\,{\vec {u}}_{r}+r\,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }\;\color {white}{.}}$ ou ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\vec {v}}={\frac {d\!\left({\overrightarrow {OM}}\right)}{dt}}={\frac {dr}{dt}}\,{\vec {u}}_{r}+r\,{\frac {d\theta }{dt}}\,{\vec {u}}_{\theta }\;\color {white}{.}}$ ;

on en déduit ${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{O}=r\,{\vec {u}}_{r}\wedge m\left({\dot {r}}\,{\vec {u}}_{r}+r\,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }\right)}$ soit, avec la distributivité du produit vectoriel par rapport à l'addition et avec ${\displaystyle {\vec {u}}_{r}\,\wedge \,{\vec {u}}_{r}={\vec {0}}}$ ainsi qu'avec ${\displaystyle {\vec {u}}_{r}\,\wedge \,{\vec {u}}_{\theta }={\vec {u}}_{z}}$, on obtient l'expression suivante :

L'énergie cinétique ${\displaystyle E_{c}}$ (encore notée ${\displaystyle E_{k}}$ ou ${\displaystyle K}$) peut être définie à partir de la première grandeur cinétique, « la quantité de mouvement ${\displaystyle {\vec {p}}}$ », et de la grandeur d'inertie associée, « la masse ${\displaystyle m}$ », selon ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}E_{c}={\frac {{\vec {p}}\,^{2}}{2m}}\;\color {white}{.}}$ c.-à-d. formellement la moitié du quotient du carré de la grandeur cinétique ${\displaystyle {\vec {p}}}$ sur la grandeur d'inertie associée ${\displaystyle m}$ ;

on élimine aisément la première grandeur cinétique, « la quantité de mouvement ${\displaystyle {\vec {p}}}$ », au profit des premières grandeurs cinématique et d'inertie, « la vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}}$ et la masse ${\displaystyle m}$ », par utilisation de ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}{\vec {p}}=m{\vec {v}}\;\color {white}{.}}$, d'où ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}E_{c}={\frac {\left(m\,{\vec {v}}\right)^{2}}{2m}}\;\color {white}{.}}$ et on obtient la définition équivalente ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}E_{c}={\frac {1}{2}}m{\vec {v}}\,^{2}\;\color {white}{.}}$ c.-à-d. formellement la moitié du produit du carré de la grandeur cinématique ${\displaystyle {\vec {v}}}$ par la grandeur d'inertie associée ${\displaystyle m}$ ;

on dispose aussi d'une troisième définition équivalente n'utilisant pas la masse, obtenue par ${\displaystyle E_{c}={\frac {{\vec {p}}\!\cdot \!{\vec {p}}}{2m}}={\frac {{\vec {p}}\!\cdot \!m{\vec {v}}}{2m}}}$ soit finalement ${\displaystyle E_{c}={\frac {1}{2}}\,{\vec {p}}\!\cdot \!{\vec {v}}}$, c.-à-d. formellement la moitié du produit scalaire de la grandeur cinétique ${\displaystyle {\vec {p}}}$ et de la grandeur cinématique associée ${\displaystyle {\vec {v}}}$.

Pour induire l'expression de l'énergie cinétique on peut utiliser la méthode formelle indiquée ci-dessus, sachant que, dans le cas d'une rotation, la grandeur cinématique intéressante est le vecteur rotation ${\displaystyle {\vec {\Omega }}}$, la grandeur cinétique associée, le moment cinétique relativement au centre ${\displaystyle O}$ de rotation ${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{O}}$ et la grandeur d'inertie correspondante, le moment d'inertie relativement à l'axe ${\displaystyle \Delta }$ de rotation ${\displaystyle J_{\Delta }}$ d'où :

l'énergie cinétique ${\displaystyle E_{c}}$ est la moitié du quotient du carré de la grandeur cinétique ${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{O}}$ sur la grandeur d'inertie associée ${\displaystyle J_{\Delta }}$, soit ${\displaystyle E_{c}={\frac {{\vec {\sigma }}_{O}^{\,2}}{2\,J_{\Delta }}}}$ ;

l'énergie cinétique ${\displaystyle E_{c}}$ est la moitié du produit du carré de la grandeur cinématique ${\displaystyle {\vec {\Omega }}}$ par la grandeur d'inertie associée ${\displaystyle J_{\Delta }}$, soit ${\displaystyle E_{c}={\frac {1}{2}}\,J_{\Delta }\,{\vec {\Omega }}^{2}}$ ;

l'énergie cinétique ${\displaystyle E_{c}}$ est la moitié du produit scalaire de la grandeur cinétique ${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{O}}$ et de la grandeur cinématique associée ${\displaystyle {\vec {\Omega }}}$, soit ${\displaystyle E_{c}={\frac {{\vec {\sigma }}_{O}\!\cdot \!{\vec {\Omega }}}{2}}}$.

Pour démontrer ces expressions on peut partir de la définition ${\displaystyle E_{c}={\frac {1}{2}}\,{\vec {p}}\!\cdot \!{\vec {v}}}$ en y reportant l'expression de la vitesse dans le cas d'un mouvement circulaire ${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {OM}}}$, on obtient ${\displaystyle E_{c}={\frac {1}{2}}\,{\vec {p}}\!\cdot \!\left({\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {OM}}\right)={\frac {1}{2}}\left({\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {OM}}\right)\!\cdot \!{\vec {p}}}$ dans laquelle on reconnaît le produit mixte de trois vecteurs ${\displaystyle \left[{\vec {A}},\,{\vec {B}},\,{\vec {C}}\right]=\left({\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\right)\!\cdot {\vec {C}}\;\color {white}{.}}$ ; on utilise alors l'invariance du produit mixte par permutation circulaire c.-à-d. ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}\left[{\vec {A}},\,{\vec {B}},\,{\vec {C}}\right]=\left[{\vec {B}},\,{\vec {C}},\,{\vec {A}}\right]=}$ ${\displaystyle \left[{\vec {C}},\,{\vec {A}},\,{\vec {B}}\right]\color {white}{.}}$ d'où ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}\left({\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {OM}}\right)\!\cdot \!{\vec {p}}=\left({\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {p}}\right)\!\cdot \!{\vec {\Omega }}\;\color {white}{.}}$ soit ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}E_{c}={\frac {1}{2}}\left({\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {p}}\right)\!\cdot \!{\vec {\Omega }}={\frac {1}{2}}{\vec {\sigma }}_{O}\!\cdot {\vec {\Omega }}\;\color {white}{.}}$ ; le remplacement de ${\displaystyle {\vec {\Omega }}}$ par ${\displaystyle {\frac {{\vec {\sigma }}_{O}}{J_{\Delta }}}}$ donne la première expression alors que le remplacement de ${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{O}}$ par ${\displaystyle J_{\Delta }\,{\vec {\Omega }}}$ fournit la seconde.

Dans le cas d'une rotation on peut donc aussi utiliser les trois expressions suivantes de l'énergie cinétique :

On choisit ${\displaystyle O}$ dans le plan du mouvement et on y repère la particule par ses coordonnées polaires ${\displaystyle \left(r,\,\theta \right)}$, le plan du mouvement étant orienté par le vecteur unitaire ${\displaystyle {\vec {u}}_{z}}$ de l'axe ${\displaystyle z'z}$ passant par ${\displaystyle O}$ et ${\displaystyle \perp }$ au plan ; la base polaire associée à la particule est notée ${\displaystyle \left({\vec {u}}_{r},\,{\vec {u}}_{\theta }\right)}$ ou ${\displaystyle \left({\hat {r}},\,{\hat {\theta }}\right)}$, c'est un cas particulier de la base cylindrique d'axe ${\displaystyle z'z}$ notée ${\displaystyle \left({\vec {u}}_{r},\,{\vec {u}}_{\theta },\,{\vec {u}}_{z}\right)}$ ou ${\displaystyle \left({\hat {r}},\,{\hat {\theta }},\,{\hat {z}}\right)}$ base directe ;

la particule, positionnée en ${\displaystyle M}$ à l'instant considéré, ayant un vecteur vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}={\dot {\overrightarrow {OM}}}={\dot {r}}\,{\vec {u}}_{r}+r\,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }}$ on en déduit l'expression de son énergie cinétique par ${\displaystyle E_{c}={\frac {1}{2}}m{\vec {v}}\,^{2}}$ en utilisant ${\displaystyle {\vec {v}}^{\,2}=\lVert {\vec {v}}\rVert ^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}}$ :

La cinétique relativiste^[19] s'est développée quasi simultanément à la cinématique et la dynamique relativistes ; cette dernière repose sur deux postulats, appelés postulats d'Einstein (1905) :

1. Principe de relativité : Les lois de la physique ont la même forme dans tous les référentiels galiléens.
2. La vitesse de la lumière dans le vide a la même valeur dans tous les référentiels galiléens.

En théorie classique, le caractère galiléen d'un référentiel n'intervient que dans la dynamique [en effet la cinétique est définie dans n'importe quel référentiel, qu'il soit galiléen ou pas, mais pour décrire simplement son évolution éventuelle connaissant ses causes de variation - c.-à-d. pour faire de la dynamique - il est exigé que le référentiel soit galiléen] ;

en théorie relativiste (ou relativité restreinte), on retrouve cette exigence concernant la dynamique - mais aussi toutes les lois de la physique - dans le premier postulat ; quant au second postulat, il concerne a priori l'électromagnétisme (nécessité que les référentiels soient galiléens pour écrire simplement les équations de Maxwell dans le vide, les changements de référentiels galiléens du champ électromagnétique étant décrits par ses transformations de Lorentz, lesquelles se retrouvent sous une forme semblable en cinétique du point).

Pour une particule de masse ${\displaystyle m>0}$ et de vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}}$ dans un référentiel spatio-temporel avec ${\displaystyle \lVert {\vec {v}}\rVert <c}$, la quantité de mouvement définie précédemment, peut être réécrite en introduisant la vitesse relative de la particule dans le référentiel d'étude ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}{\vec {\beta }}={\frac {\vec {v}}{c}}\left(\Leftrightarrow {\vec {v}}={\vec {\beta }}\,c\right)\color {white}{.}}$ de norme ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}\lVert {\vec {\beta }}\rVert =\beta <1\color {white}{.}}$, permettant de simplifier l'écriture du facteur de Lorentz en ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\quad \Leftrightarrow \quad \gamma ^{2}=1+\gamma ^{2}\,\beta ^{2}\color {white}{.}}$, soit finalement :

L'unité de norme de quantité de mouvement du ${\displaystyle S.I.}$ le ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}kg\!\cdot \!m\!\cdot \!s^{-1}\color {white}{.}}$ est mal adaptée pour des particules élémentaires compte tenu de la petitesse des valeurs de masse ; on utilise fréquemment une unité dérivée le ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}MeV/c\color {white}{.}}$ en introduisant la grandeur homogène à une énergie c.-à-d. ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}{\vec {p}}\,c=}$ ${\displaystyle \gamma \,mc^{2}\,{\vec {\beta }}=\gamma \,E_{0}\,{\vec {\beta }}\color {white}{.}}$ avec ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}E_{0}=m\,c^{2}\color {white}{.}}$ énergie de masse de la particule, usuellement exprimée en mégaélectron-volt de symbole ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}MeV\color {white}{.}}$ [${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}1\;MeV}$ ${\displaystyle \simeq 1,602\;10^{-13}\,J\color {white}{.}}$] ; ainsi une quantité de mouvement de norme égale à ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}1\;MeV/c\color {white}{.}}$ correspond à une grandeur ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}{\vec {p}}\,c\color {white}{.}}$ de norme égale à ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}1\;MeV\color {white}{.}}$.

Dans le domaine des faibles vitesses ${\displaystyle \lVert {\vec {v}}\rVert \ll c\;\Leftrightarrow \;\beta =\lVert {\vec {\beta }}\rVert \ll 1}$ c.-à-d. que la norme de la vitesse relative peut être considérée comme un infiniment petit ; on peut alors faire un développement limité de la norme de ${\displaystyle {\vec {p}}\,c=\gamma \,E_{0}\,{\vec {\beta }}}$ à l'ordre le plus bas non nul en ${\displaystyle \beta }$ et, la grandeur étant proportionnelle à l'infiniment petit ${\displaystyle \beta }$, il suffit de faire le « développement limité de ${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$ à l'ordre zéro »^[20] soit ${\displaystyle \gamma \simeq 1}$ et par suite

Avec cette approximation l'erreur commise sur la norme de la quantité de mouvement est ${\displaystyle \varepsilon _{p}=\lVert {\vec {p}}_{\text{relativ}}\rVert -\lVert {\vec {p}}_{\text{class}}\rVert =\gamma \,m\,c\,\beta -m\,c\,\beta }$, soit encore ${\displaystyle \varepsilon _{p}=\left(\gamma -1\right)m\,c\,\beta }$ et elle peut être estimée en poussant le « développement limité de ${\displaystyle \gamma }$ à l'ordre un en ${\displaystyle \beta ^{2}}$ »^[21] ;

de façon à utiliser la première formule du formulaire des développements limités des fonctions usuelles au voisinage de zéro ${\displaystyle \left(1+x\right)^{a}=1+a\,x+o(x)}$ développement limité à l'ordre un en l'infiniment petit ${\displaystyle x}$ ou, écrit de façon plus succincte (et donc moins précise) ${\displaystyle \left(1+x\right)^{a}\simeq 1+a\,x}$, on réécrit le facteur de Lorentz selon ${\displaystyle \gamma =\left(1-\beta ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$ et son développement limité à l'ordre un en ${\displaystyle \beta ^{2}}$ donne :

${\displaystyle {\frac {\lVert {\vec {p}}_{\text{relativ}}\rVert -\lVert {\vec {p}}_{\text{class}}\rVert }{\lVert {\vec {p}}_{\text{class}}\rVert }}={\frac {\varepsilon _{p}}{m\,c\,\beta }}={\frac {1}{2}}\,\beta ^{2}}$ ; cette dernière est inférieure à ${\displaystyle 1\,\%=10^{-2}}$ si ${\displaystyle \beta ^{2}<2\,10^{-2}}$ soit ${\displaystyle \beta <{\sqrt {2}}\,10^{-1}\simeq 0,14}$ ; on vérifie ainsi que l'expression classique de la quantité de mouvement reste applicable à ${\displaystyle 1\,\%}$ près si ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}\lVert {\vec {v}}\rVert <0,14\,c\simeq 42000\;km\!\cdot \!s^{-1}}$.

Pour obtenir l'expression relativiste du moment cinétique d'une particule relativement à ${\displaystyle O}$, il suffit de reporter l'expression relativiste de la quantité de mouvement dans la définition du moment cinétique ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}{\vec {\sigma }}_{O}={\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {p}}\color {white}{.}\;}$ soit « ${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{O}={\overrightarrow {OM}}\wedge \gamma \,m\,{\vec {v}}={\overrightarrow {OM}}\wedge \gamma \,m\,c\,{\vec {\beta }}\color {white}{.}}$ »^[22].

Pour une particule de masse ${\displaystyle m>0}$, de vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}}$ (avec ${\displaystyle \lVert {\vec {v}}\rVert <c}$) et de facteur de Lorentz « ${\displaystyle \gamma >1}$ »^[9] l'énergie cinétique a été définie, en fonction du facteur de Lorentz ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\;\color {white}{.}}$ avec ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\vec {\beta }}={\frac {\vec {v}}{c}}\;\color {white}{.}}$ vitesse relative de la particule, selon : ${\displaystyle \color {white}{.}\qquad \color {black}E_{c}=(\gamma \,-\,1)\,m\,c^{2}}$ ;

le plus souvent on remplace l'utilisation de l'énergie cinétique ${\displaystyle E_{c}}$ par celle de l'énergie totale ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}E=E_{c}+E_{0}\;\color {white}{.}}$ avec ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}E_{0}=m\,c^{2}\;\color {white}{.}}$ énergie de masse de la particule, d'où : ${\displaystyle \color {white}{.}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \color {black}E=\gamma \,m\,c^{2}=\gamma \,E_{0}\color {white}{.}}$.

L'unité d'énergie du ${\displaystyle S.I.}$ le ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}J=kg\!\cdot \!m^{2}\!\cdot \!s^{-2}\color {white}{.}}$ est mal adaptée pour des particules élémentaires ; on utilise souvent le mégaélectron-volt de symbole ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}MeV\color {white}{.}}$
[${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}1\;MeV\simeq 1,602\;10^{-13}\,J\color {white}{.}}$]^[23].

Dans le domaine des faibles vitesses ${\displaystyle \lVert {\vec {v}}\rVert \ll c\;\Leftrightarrow \;\beta =\lVert {\vec {\beta }}\rVert \ll 1}$, la norme de la vitesse relative peut être considérée comme un infiniment petit ; on peut alors faire un développement limité de ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}E_{c}=\left(\gamma \,-\,1\right)mc^{2}=\left(\gamma \,-\,1\right)E_{0}\;\color {white}{.}}$ à l'ordre le plus bas non nul et, comme le facteur de Lorentz ne fait intervenir que le carré de la norme de la vitesse relative ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\color {white}{.}}$, on prendra ${\displaystyle \beta ^{2}}$ comme infiniment petit, il suffit donc de « faire le développement limité de ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\color {white}{.}}$ à l'ordre un en ${\displaystyle \beta ^{2}}$ »^[24] ;

l'erreur commise sur la norme de la quantité de mouvement en adoptant son expression classique étant ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}\varepsilon _{p}=\lVert {\vec {p}}_{\text{relativ}}\rVert -\lVert {\vec {p}}_{\text{class}}\rVert =...}$ ${\displaystyle ...=\left(\gamma -1\right)m\,c\,\beta \;\color {white}{.}}$ et ayant aussi nécessité le développement limité de ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\color {white}{.}}$ à l'ordre un en ${\displaystyle \beta ^{2}}$, il suffit de reprendre ce dernier^[25] ${\displaystyle \gamma =\left(1-\beta ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\simeq 1+{\frac {1}{2}}\,\beta ^{2}\;\color {white}{.}}$ d'où ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}\gamma -1\simeq {\frac {1}{2}}\,\beta ^{2}\;\color {white}{.}}$ dont on déduit ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}E_{c}=\left(\gamma \,-\,1\right)E_{0}\simeq {\frac {1}{2}}\,\beta ^{2}\,E_{0}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\lVert {\vec {v}}\rVert }{c}}\right)^{\!\!\!2}mc^{2}\;\color {white}{.}}$ et par suite

Avec cette approximation l'erreur commise sur l'énergie cinétique est ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}\varepsilon _{E_{c}}=E_{c,\,{\text{relativ}}}-E_{c,\,{\text{class}}}=\left(\gamma \,-\,1\right)E_{0}-{\frac {1}{2}}\,\beta ^{2}\,E_{0}\color {white}{.}}$, soit encore ${\displaystyle \varepsilon _{E_{c}}=\left(\gamma -1-{\frac {1}{2}}\,\beta ^{2}\right)E_{0}\color {white}{.}}$ et elle peut être estimée en poussant le « développement limité de ${\displaystyle \gamma }$ à l'ordre deux en ${\displaystyle \beta ^{2}}$ »^[26] ;

de façon à utiliser la première formule du formulaire des développements limités des fonctions usuelles au voisinage de zéro ${\displaystyle \left(1+x\right)^{a}=1+a\,x+{\frac {a\,(a-1)}{2}}\,x^{2}+o(x^{2})}$ développement limité à l'ordre deux en l'infiniment petit ${\displaystyle x}$ ou, écrit de façon plus succincte (et donc moins précise) ${\displaystyle \left(1+x\right)^{a}\simeq 1+a\,x+{\frac {a\,(a-1)}{2}}\,x^{2}}$, on réécrit le facteur de Lorentz selon ${\displaystyle \gamma =\left(1-\beta ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$ et son développement limité à l'ordre deux en ${\displaystyle \beta ^{2}}$ donne :

la valeur absolue de cette dernière est inférieure à ${\displaystyle 1\,\%=10^{-2}}$ si ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}\beta ^{2}<4\,10^{-2}\color {white}{.}}$ soit ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}\beta <2\,10^{-1}\simeq 0,2\;\color {white}{.}}$ ; l'expression classique de l'énergie cinétique reste applicable à ${\displaystyle 1\,\%}$ près « si ${\displaystyle \lVert {\vec {v}}\rVert <0,2\,c\simeq 60000\;km\!\cdot \!s^{-1}}$ »^[27].

La quantité de mouvement et l'énergie cinétique (ou totale) d'une particule ont été définies à partir de sa vitesse ; éliminons la vitesse de façon à trouver un lien entre quantité de mouvement et énergie cinétique (ou totale) ; de ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\vec {p}}\,c=\gamma \,mc^{2}\,{\vec {\beta }}=\gamma \,E_{0}\,{\vec {\beta }}\;\color {white}{.}}$ et de ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}E=\gamma \,m\,c^{2}=\gamma \,E_{0}\;\color {white}{.}}$, on déduit aisément l'expression de la vitesse relative ${\displaystyle {\vec {\beta }}}$ en fonction des grandeurs cinétiques ${\displaystyle {\vec {p}}\,c}$ et ${\displaystyle E}$ :

reportant cette expression de vitesse relative dans le facteur de Lorentz ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\;\color {white}{.}}$, on obtient ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {{\vec {p}}^{\,2}\,c^{2}}{E^{2}}}}}}\;\color {white}{.}}$ ou, ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}\gamma \;\color {white}{.}}$ étant d'autre part égal à ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\frac {E}{E_{0}}}\;\color {white}{.}}$, ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\frac {E}{E_{0}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {{\vec {p}}^{\,2}\,c^{2}}{E^{2}}}}}}\Leftrightarrow E\,{\sqrt {1-{\frac {{\vec {p}}^{\,2}\,c^{2}}{E^{2}}}}}=E_{0}\;\color {white}{.}}$ soit