Formule du multinôme de Newton — Wikipédia
En mathématiques, la formule du multinôme de Newton est une relation donnant le développement d'une puissance entière n d'une somme d'un nombre fini m de termes sous forme d'une somme de produits de puissances de ces termes affectés de coefficients, lesquels sont appelés des coefficients multinomiaux. La formule du binôme s'obtient comme cas particulier de la formule du multinôme, pour m=2 ; et dans ce cas les coefficients multinomiaux sont les coefficients binomiaux.
Énoncé
[modifier | modifier le code]Soient m et n deux entiers naturels, , et x1, x2,..., xm des nombres réels ou complexes (ou plus généralement, des éléments d'un anneau commutatif, voire seulement d'un anneau, à condition que ces m éléments commutent deux à deux). Alors,
- .
La somme porte sur tous les m-uplets d'indices entiers naturels (k1, k2,...,km) tels que k1 + k2 + ... + km = n, certains d'entre eux pouvant être nuls.
Une écriture équivalente mais bien plus concise consiste à sommer sur tous les multi-indices de dimension m dont le module est égal à n :
Les nombres
sont appelés les coefficients multinomiaux.
Le coefficient multinomial est également le nombre de « partitions ordonnées » d'un ensemble à n éléments en m ensembles de cardinaux successifs k1, k2,...,km. Plus formellement :
Par exemple, les 3 «partitions ordonnées» comptées par sont , , .
Et plus concrètement, est le nombre de mots de longueur n formés avec un alphabet de m caractères, le premier caractère étant répété k1 fois, le deuxième, k2 fois, ..., le m-ième, km fois. Par exemple, le nombre d'anagrammes du mot Mississipi vaut .
Démonstrations
[modifier | modifier le code]Une preuve directe est d'utiliser l'avant-dernière expression ci-dessus des coefficients multinomiaux[1].
Une autre est de raisonner par récurrence sur m, en utilisant la formule du binôme[2].
Enfin, on peut utiliser le développement en série entière (ou simplement formelle) de l'exponentielle[3].
Exemples et dénombrements
[modifier | modifier le code]Dans les exemples suivants, les indices intervenant dans les diverses sommes sont supposés être distincts, ne jamais se répéter et être compris entre 1 et n ; s'il n'y a pas de possibilité pour ces indices, la somme est égale à 0 par convention.
Si l'on range les coefficients multinomiaux en triangle de sorte que dans la ligne n se trouvent les avec , les étant rangés dans l'ordre lexicographique descendant, on obtient les premières lignes, en commençant à n = 1 :
1
1, 2
1, 3, 6
1, 4, 6, 12, 24
1, 5, 10, 20, 30, 60, 120
1, 6, 15, 20, 30, 60, 90, 120, 180, 360, 720
Voir la suite A036038 de l'OEIS.
Notons que dans ce triangle le nombre de termes de la ligne n est égal au nombre de partitions de l'entier n ; la somme des termes d'une ligne est répertoriée comme suite A005651 de l'OEIS.
Le nombre total de termes dans le développement de est égal, lui, au nombre de monômes unitaires de degré n formés à partir de x1, x2,..., xm , soit le nombre de leurs n-combinaisons avec répétitions
Lien entre coefficients multinomiaux et binomiaux, et applications
[modifier | modifier le code]On a : , formules que l'on obtient naturellement lorsqu'on cherche le nombre de mots de longueur n formés avec un alphabet de m caractères, le premier caractère étant répété k1 fois, le deuxième, k2 fois, ..., le m-ième, km fois.
Ceci peut être un moyen simple de prouver que est entier si .
Par exemple, pour tous entiers naturels , est entier.
Généralisation de la relation de Pascal aux coefficients multinomiaux
[modifier | modifier le code]On a, pour et :
ce qui découle par exemple de .
Notes et références
[modifier | modifier le code]- Cette preuve combinatoire est disponible par exemple dans Louis Comtet, Analyse combinatoire avancée, Techniques de l'ingénieur (lire en ligne), p. 3 et sur Wikiversité, dans le lien ci-dessous.
- Cette preuve par récurrence est disponible par exemple sur Wikiversité, dans le lien ci-dessous.
- Cette preuve « analytique » est disponible par exemple dans Comtet, p. 3 et sur Wikiversité, dans le lien ci-dessous.
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Articles connexes
[modifier | modifier le code]Bibliographie
[modifier | modifier le code](en) Paul Erdős et Ivan Niven, « The number of multinomial coefficients », Amer. Math. Monthly, vol. 61, , p. 37-39 (lire en ligne)