Animation illustrant la complétion du carré. La méthode de complétion du carré , en mathématiques , est un procédé algébrique permettant de réécrire une équation du second degré de la forme a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} sous sa forme canonique a ( ( x + b 2 a ) 2 − b 2 − 4 a c 4 a 2 ) = 0 {\displaystyle a{\biggl (}(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}{\biggr )}=0} , ou de factoriser le polynôme a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} . L'idée est de faire apparaître un carré sous forme d'identité remarquable , puis par exemple d’en extraire la racine carrée .
Méthode de complétion du carré, ici présentée géométriquement par Al-Khwârizmî (780–850 ) dans l’ouvrage The Algebra of Mohammed ben Musa L'idée générale de cette technique consiste, partant d'une équation de la forme A+B=C , à la mettre sous la forme A+B+D=C+D , où D est choisi pour que A+B+D soit le développement d'une identité remarquable telle que ( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 {\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}} (une variante de ce procédé consiste à « ajouter 0 », c'est-à-dire à écrire A+B sous la forme A+B+D-D). Ainsi, lorsqu'on a une équation de la forme x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle x^{2}+bx+c=0} on ajoute ( b 2 ) 2 − c {\displaystyle \left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-c} de chaque côté de l'équation pour faire apparaître x 2 + b x + ( b 2 ) 2 = ( x + b 2 ) 2 {\displaystyle x^{2}+bx+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}=\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}} , ce qui donne
x 2 + b x + ( b 2 ) 2 = ( b 2 ) 2 − c {\displaystyle x^{2}+bx+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-c} , d'où [ x + ( b 2 ) ] 2 = ( b 2 ) 2 − c {\displaystyle \left[x+\left({\frac {b}{2}}\right)\right]^{2}=\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-c}
et donc x = − b 2 ± ( b 2 ) 2 − c {\displaystyle x=-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-c}}} (en supposant que le radicande soit positif).
Exemple Soit x 2 − 6 x + 5 = 0 {\displaystyle x^{2}-6x+5=0} l'équation à résoudre. On ajoute ( − 6 / 2 ) 2 − 5 = 9 − 5 {\displaystyle (-6/2)^{2}-5=9-5} de chaque côté.
On obtient x 2 − 6 x + 5 + 9 − 5 = 9 − 5 {\displaystyle x^{2}-6x+5+9-5=9-5} ,
qui se simplifie en x 2 − 6 x + 9 = 4 {\displaystyle x^{2}-6x+9=4} ,
puis en ( x − 3 ) 2 = 4 {\displaystyle (x-3)^{2}=4}
et enfin x − 3 = ± 4 = ± 2 {\displaystyle x-3=\pm {\sqrt {4}}=\pm 2} .
D'où les solutions de l'équation, x 1 = 1 {\displaystyle x_{1}=1} et x 2 = 5 {\displaystyle x_{2}=5} .
On peut appliquer cette méthode à une équation de la forme a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} , où a ≠ 0. {\displaystyle a\neq 0.}
a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} ⇔ x 2 + b a x + c a = 0 , {\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0,} car a ≠ 0. {\displaystyle a\neq 0.} En appliquant à cette équation la méthode ci-dessus, on obtient la forme canonique
a x 2 + b x + c = a ( ( x + b 2 a ) 2 − b 2 − 4 a c 4 a 2 ) = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a{\biggl (}(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}{\biggr )}=0} ;
on retrouve alors la formule de Viète (en supposant le radicande positif) :
x = − b 2 a ± ( b 2 a ) 2 − c a , {\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}},} ou sous une forme plus habituelle, avec le discriminant du polynôme :
x 1 = − b + b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} ; x 2 = − b − b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} . Si le discriminant est positif, on obtient la factorisation canonique :
a x 2 + b x + c = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) . {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}).}
La même idée peut s’appliquer à d’autres expressions algébriques ; elle permet par exemple de transformer une équation cartésienne comme x 2 + y 2 + 2 x − 4 y = 4 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+2x-4y=4} en x 2 + 2 x + 1 + y 2 − 4 y + 4 = 9 , {\displaystyle x^{2}+2x+1+y^{2}-4y+4=9,} ou encore ( x + 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = 9 {\displaystyle (x+1)^{2}+(y-2)^{2}=9} ; on reconnait alors l'équation d'un cercle de centre (-1, 2) et de rayon 3.
On peut également obtenir de même l’identité de Sophie Germain :
x 4 + 4 y 4 = ( x 4 + 4 x 2 y 2 + 4 y 4 ) − 4 x 2 y 2 = ( x 2 + 2 y 2 ) 2 − ( 2 x y ) 2 = ( x 2 − 2 x y + 2 y 2 ) ( x 2 + 2 x y + 2 y 2 ) . {\displaystyle x^{4}+4y^{4}=(x^{4}+4x^{2}y^{2}+4y^{4})-4x^{2}y^{2}=(x^{2}+2y^{2})^{2}-(2xy)^{2}=(x^{2}-2xy+2y^{2})(x^{2}+2xy+2y^{2}).}
La complétion du carré est également utile pour le calcul de certaines intégrales . Ainsi, pour une intégrale de la forme
I = ∫ d x x 2 + b x + c {\displaystyle I=\int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}+bx+c}}} , réécrite I = ∫ d x x 2 + b x + b 2 / 4 − b 2 / 4 + c = ∫ d x ( x + b / 2 ) 2 − b 2 / 4 + c {\displaystyle I=\int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}+bx+b^{2}/4-b^{2}/4+c}}=\int {\frac {\mathrm {d} x}{(x+b/2)^{2}-b^{2}/4+c}}} , on peut revenir, en posant X = x + b / 2 {\displaystyle X=x+b/2} , à des formes dont on peut calculer les primitives à partir des fonctions usuelles :
∫ d X X 2 + k 2 = 1 k arctan ( X k ) + C ou ∫ d X X 2 − k 2 = 1 2 k ln | X − k X + k | + C {\displaystyle \int {\frac {dX}{X^{2}+k^{2}}}={\frac {1}{k}}\arctan \left({\frac {X}{k}}\right)+C\qquad {\text{ou}}\qquad \int {\frac {dX}{X^{2}-k^{2}}}={\frac {1}{2k}}\ln \left|{\frac {X-k}{X+k}}\right|+C} .