Constantes de Stieltjes — Wikipédia
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En mathématiques, les constantes de Stieltjes (nommées d'après le mathématicien néerlandais Thomas Joannes Stieltjes) sont les nombres qui interviennent dans le développement en série de Laurent de la fonction zêta de Riemann :
On démontre que chaque γn est donné par une limite :
est la constante d'Euler-Mascheroni.
Propriétés
[modifier | modifier le code]En utilisant la formule intégrale de Cauchy on trouve :
Et une comparaison série-intégrale montre que :
Cela dit, c'est un majorant d'une précision assez médiocre.
Matsuoka, en 1985[1], a montré que pour n > 4,
On sait aussi qu'il y a asymptotiquement la moitié de ces nombres qui sont positifs.
Valeurs jusqu'à 15
[modifier | modifier le code]Voici les quelques premières valeurs[2] :
Valeur | |
---|---|
0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 | |
−0,0728158454836767300000000000000 | |
−0,00969036319287232000000000000000 | |
0,00205383442030334600000000000000 | |
0,00232537006546730000000000000000 | |
0,000793323817301062700000000000000 | |
−0,000238769345430199600000000000000 | |
−0,000527289567057751000000000000000 | |
−0,000352123353803039500000000000000 | |
−0,0000343947744180880500000000000000 | |
0,000205332814909064800000000000000 | |
0,000270184439543903500000000000000 | |
0,000167272912105140200000000000000 | |
−0,0000274638066037601580000000000000 | |
−0,000209209262059299960000000000000 | |
−0,000283468655320241400000000000000 |
Constantes de Stieltjes généralisées
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Plus généralement, on définit les constantes γn(a) comme coefficients du développement en série de Laurent de la fonction zêta de Hurwitz :
Une formule dite de réflexion, souvent attribuée à Almkvist et Meurman (qui l'ont découverte dans les années 1990), avait en fait été obtenue par Carl Johan Malmsten dès 1846[3] : (m et n entiers positifs avec m<n).
Références
[modifier | modifier le code]- (en) Y. Matsuoka, « Generalized Euler Constants Associated with the Riemann Zeta Function », Number Theory and Combinatorics, World Scientific, , p. 279-295.
- Simon Plouffe, « Les constantes de Stieltjes, de 0 à 78, avec 256 décimales de précision ».
- (en) Iaroslav V. Blagouchine A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations Journal of Number Theory (Elsevier), vol. 148, pp. 537-592 and vol. 151, pp. 276-277, 2015. arXiv PDF
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Article connexe
[modifier | modifier le code]Opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing
Lien externe
[modifier | modifier le code](en) Eric W. Weisstein, « Stieltjes Constants », sur MathWorld