Système de coordonnées elliptiques En géométrie , le système de coordonnées elliptiques est un système de coordonnées orthogonales à deux dimensions, dans lequel les lignes de coordonnées sont des ellipses et des hyperboles confocales. Les deux foyers F 1 {\displaystyle \mathrm {F} _{1}} et F 2 {\displaystyle \mathrm {F} _{2}} sont généralement considérés comme fixés à − a {\displaystyle -a} et + a {\displaystyle +a} , respectivement, sur l'axe des x {\displaystyle x} du système de coordonnées cartésiennes .
La notation la plus courante des coordonnées elliptiques ( μ , ν ) {\displaystyle (\mu ,\nu )} est :
{ x = a cosh μ cos ν y = a sinh μ sin ν {\displaystyle {\begin{cases}x=a\;\cosh \mu \;\cos \nu \\y=a\;\sinh \mu \;\sin \nu \end{cases}}} où μ {\displaystyle \mu } est un nombre réel positif et ν ∈ [ 0 , 2 π ] . {\displaystyle \nu \in [0,2\pi ].}
Sur le plan complexe , une relation équivalente est :
x + i y = a cosh ( μ + i ν ) {\displaystyle x+\mathrm {i} \,y=a\;\cosh(\mu +\mathrm {i} \,\nu )} . Ces définitions correspondent aux ellipses et aux hyperboles. L'identité trigonométrique :
x 2 a 2 cosh 2 μ + y 2 a 2 sinh 2 μ = cos 2 ν + sin 2 ν = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1} montre que les courbes à μ = constante {\displaystyle \mu ={\text{constante}}} forment des ellipses , tandis que l'identité trigonométrique hyperbolique :
x 2 a 2 cos 2 ν − y 2 a 2 sin 2 ν = cosh 2 μ − sinh 2 μ = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1} montre que les courbes à ν = constante {\displaystyle \nu ={\text{constante}}} forment des hyperboles .
Si l'on pose a = 2 r e − μ {\displaystyle a=2r\,\mathrm {e} ^{-\mu }} et qu'on fait tendre μ {\displaystyle \mu } vers + ∞ {\displaystyle +\infty } , x {\displaystyle x} et y {\displaystyle y} tendent vers r cos ν {\displaystyle r\cos \nu } et r sin ν {\displaystyle r\sin \nu } : les coordonnées elliptiques tendent vers les coordonnées polaires (de distance radiale r {\displaystyle r} et d'angle polaire ν {\displaystyle \nu } ), les ellipses confocales deviennent des cercles concentriques et les hyperboles des droites passant par l'origine.
Dans un système de coordonnées orthogonales , les longueurs des vecteurs de base sont appelées facteurs d'échelle. Les facteurs d'échelle pour les coordonnées elliptiques ( μ , ν ) {\displaystyle (\mu ,\nu )} sont égaux à :
h μ = h ν = a sinh 2 μ + sin 2 ν = a cosh 2 μ − cos 2 ν {\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a\,{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}=a\,{\sqrt {\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu }}} . En utilisant les identités à double argument pour les fonctions hyperboliques et les fonctions trigonométriques , les facteurs d'échelle peuvent être exprimés de manière équivalente comme :
h μ = h ν = a 1 2 ( cosh 2 μ − cos 2 ν ) {\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a\,{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\cosh 2\mu -\cos 2\nu )}}} . Par conséquent, un élément infinitésimal de surface est égal à :
d A = h μ h ν d μ d ν = a 2 ( sinh 2 μ + sin 2 ν ) d μ d ν = a 2 ( cosh 2 μ − cos 2 ν ) d μ d ν = a 2 2 ( cosh 2 μ − cos 2 ν ) d μ d ν {\displaystyle \mathrm {d} A=h_{\mu }\,h_{\nu }\,\mathrm {d} \mu \,\mathrm {d} \nu =a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)\mathrm {d} \mu \,\mathrm {d} \nu =a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)\mathrm {d} \mu \,\mathrm {d} \nu ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)\mathrm {d} \mu \,\mathrm {d} \nu } et le laplacien s'écrit :
∇ 2 Φ = 1 a 2 ( sinh 2 μ + sin 2 ν ) ( ∂ 2 Φ ∂ μ 2 + ∂ 2 Φ ∂ ν 2 ) = 1 a 2 ( cosh 2 μ − cos 2 ν ) ( ∂ 2 Φ ∂ μ 2 + ∂ 2 Φ ∂ ν 2 ) = 2 a 2 ( cosh 2 μ − cos 2 ν ) ( ∂ 2 Φ ∂ μ 2 + ∂ 2 Φ ∂ ν 2 ) {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)={\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)={\frac {2}{a^{2}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)} . D'autres opérateurs différentiels tels que ∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } et ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } peut être exprimé dans les coordonnées ( μ , ν ) {\displaystyle (\mu ,\nu )} en substituant les facteurs d'échelle dans les formules générales trouvées en coordonnées orthogonales .
Nom de la coordonnée Types de système A deux dimensions A trois dimensions