Fonction de Langevin — Wikipédia
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La fonction de Langevin est due à Paul Langevin (1872-1946) et se définit par où coth est la fonction cotangente hyperbolique.
Contexte
[modifier | modifier le code]La fonction de Langevin apparaît dans la description du paramagnétisme d'un matériau soumis à un champ magnétique uniforme B, ainsi que celle de systèmes formellement apparentés comme un polymère librement joint soumis à une force de traction constante.
Le matériau est décrit comme une assemblée de dipôles magnétiques classiques indépendants, ayant chacun un moment magnétique m dont la direction est libre mais le module, µ, est fixe. L'énergie de chaque dipôle est alors U = −m⋅B.
Calcul de l'aimantation moyenne
[modifier | modifier le code]On se place à température fixée (ensemble canonique). Dans ce cas, l'aimantation du matériau vaut M = n⟨m⟩ où n est la densité de moments magnétiques et la valeur moyenne ⟨m⟩ de ces moments est donnée par la loi de Boltzmann :
où k B est la constante de Boltzmann, T la température, dΩ l'élément d'angle solide et où l'intégration se fait sur toutes les orientations possibles pour m.
Résultat
[modifier | modifier le code]Des manipulations élémentaires mènent alors à
où L est la fonction de Langevin.
Comportement asymptotique
[modifier | modifier le code]À champ non nul, lorsque la température tend vers zéro on a ⟨M⟩ ≈ nµ : l'aimantation sature (les spins sont gelés dans l'état fondamental). Lorsqu'on se place dans la limite des hautes températures ⟨M⟩ ≈ 0, l'énergie thermique est très supérieure à l'énergie magnétique (régime entropique : les spins ne voient plus le champ magnétique).
Pour x ≪ 1, la fonction de Langevin peut se développer en série de Taylor :
ou en fraction continue généralisée :
Dans le régime des hautes températures (kT ≫ µB), on peut garder le seul premier terme de ces développements (L(x) ≈ x/3), ce qui conduit à la loi de Curie :
avec la susceptibilité magnétique.
La fonction de Langevin vérifie aussi la relation suivante, qui peut se déduire d'un analogue pour la fonction cotangente :
Voir aussi
[modifier | modifier le code]- Fonction de Brillouin : analogue de la fonction de Langevin pour des moments magnétiques quantiques.