Fonction de Riccati-Bessel — Wikipédia
En analyse, les fonctions de Riccati–Bessel sont des fonctions spéciales construites à partir des fonctions de Bessel classiques, qui apparaissent en mécanique quantique dans la résolution de l'équation de Schrödinger avec une barrière cylindrique infinie hypothétique[1]. Elles vérifient l'équation différentielle :
Elles sont définies par :
Avec les travaux de Peter Debye[2],[3], on note parfois ψn et χn au lieu de Sn et Cn respectivement.
Premières fonctions
[modifier | modifier le code]On a[4] :
Développements en série
[modifier | modifier le code]Les fonctions de Riccati-Bessel ont pour développements en série entière :
où, pour un entier p, p!! désigne la double factorielle.
Application
[modifier | modifier le code]L'équation différentielle apparait dans le problème de diffraction d'ondes électromagnétiques par une sphère, ce qu'on appelle la diffraction de Mie depuis que Gustav Mie a publié la première solution en 1908[5].
Articles connexes
[modifier | modifier le code]Références
[modifier | modifier le code]- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bessel function » (voir la liste des auteurs).
- (en) David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 2 (lire en ligne [PDF]).
- (en) Jianqi Shen, Huarui Wang, Bingshan Wang, Haitao Yu et Bin Yu, « Stability in Debye series calculation for light scattering by absorbing particles and bubbles », Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, vol. 111, no 5, , p. 772-781 (DOI 10.1016/j.jqsrt.2009.11.009)
- (en) I. Brevik, J. B. Aarseth et J. S. Høye, « Casimir problem in spherical dielectrics: a quantum statistical mechanical approach », International Journal of Modern Physics, (lire en ligne)
- (en) Peter Maličký et Marianna Maličká, « On the computation of Riccati-Bessel functions », Aplikace matematiky, vol. 35, no 6, , p. 487–493 (lire en ligne)
- (en) Hong Du, « Mie-scattering calculation », Applied Optics, vol. 43, no 9, , p. 1951–1956 (PMID 15065726, DOI 10.1364/ao.43.001951, Bibcode 2004ApOpt..43.1951D)
Liens externes
[modifier | modifier le code]- (en) Eric W. Weisstein, « Riccati-Bessel Functions », sur MathWorld
- (en) « Riccati–Bessel Functions », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, (ISBN 978-0521192255)