En mathématiques, la formule d'Abel-Plana est une formule de sommation découverte indépendamment par Niels Henrik Abel (en 1823) et Giovanni Antonio Amedeo Plana (en 1820). Elle établit que [ 1]
∑ n = 0 + ∞ f ( a + n ) = ∫ a + ∞ f ( x ) d x + f ( a ) 2 + ∫ 0 ∞ f ( a − i x ) − f ( a + i x ) i ( e 2 π x − 1 ) d x {\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }f(a+n)=\int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x+{\frac {f(a)}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {f(a-\mathrm {i} x)-f(a+\mathrm {i} x)}{\mathrm {i} \left(\mathrm {e} ^{2\pi x}-1\right)}}\mathrm {d} x} Pour le cas a = 0 {\displaystyle a=0} on a :
∑ n = 0 ∞ f ( n ) = 1 2 f ( 0 ) + ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x + i ∫ 0 + ∞ f ( i t ) − f ( − i t ) e 2 π t − 1 d t . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)={\frac {1}{2}}f(0)+\int _{0}^{+\infty }f(x)\,\mathrm {d} x+\mathrm {i} \int _{0}^{+\infty }{\frac {f(\mathrm {i} t)-f(-\mathrm {i} t)}{\mathrm {e} ^{2\pi t}-1}}\,\mathrm {d} t.} Cette formule est vraie pour les fonctions ƒ qui sont holomorphes dans la région Re(z ) ≥ 0, et satisfaire une condition de croissance appropriée dans cette région ; par exemple, il suffit de supposer que |ƒ | est borné par C /|z |1+ε dans cette région pour certaines constantes C , ε > 0, bien que la formule soit également valable sous des limites beaucoup plus faibles (Olver 1997 , p.290).
Un exemple est fourni par la fonction zêta de Hurwitz :
ζ ( s , α ) = ∑ n = 0 + ∞ 1 ( n + α ) s = α 1 − s s − 1 + 1 2 α s + 2 ∫ 0 ∞ sin ( s arctan t α ) ( α 2 + t 2 ) s 2 d t e 2 π t − 1 , {\displaystyle \zeta (s,\alpha )=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {1}{(n+\alpha )^{s}}}={\frac {\alpha ^{1-s}}{s-1}}+{\frac {1}{2\alpha ^{s}}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left(s\arctan {\frac {t}{\alpha }}\right)}{(\alpha ^{2}+t^{2})^{\frac {s}{2}}}}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {e} ^{2\pi t}-1}},} qui est vérifiée pour tout s ∈ C − { 1 } {\displaystyle s\in \mathbb {C} -\{1\}} .
Abel a également donné la variation suivante pour les séries alternées :
∑ n = 0 + ∞ ( − 1 ) n f ( n ) = 1 2 f ( 0 ) + i ∫ 0 + ∞ f ( i t ) − f ( − i t ) 2 sinh ( π t ) d t , {\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }(-1)^{n}f(n)={\frac {1}{2}}f(0)+\mathrm {i} \int _{0}^{+\infty }{\frac {f(\mathrm {i} t)-f(-\mathrm {i} t)}{2\sinh(\pi t)}}\,\mathrm {d} t,} qui est lié à la formule de sommation de Lindelöf [ 2]
∑ k = m + ∞ ( − 1 ) k f ( k ) = ( − 1 ) m ∫ − ∞ + ∞ f ( m − 1 2 + i x ) d x 2 cosh ( π x ) . {\displaystyle \sum _{k=m}^{+\infty }(-1)^{k}f(k)=(-1)^{m}\int _{-\infty }^{+\infty }f\left(m-{\frac {1}{2}}+\mathrm {i} x\right){\frac {\mathrm {d} x}{2\cosh(\pi x)}}.} Soit f {\displaystyle f} holomorphe sur ℜ ( z ) ≥ 0 {\displaystyle \Re (z)\geq 0} , tel que f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} , on a f ( z ) = O ( | z | k ) {\displaystyle f(z)=O(|z|^{k})} et pour arg ( z ) ∈ ] − β , β [ {\displaystyle \operatorname {arg} (z)\in ]-\beta ,\beta [} , on a f ( z ) = O ( | z | − 1 − δ ) {\displaystyle f(z)=O(|z|^{-1-\delta })} . On prend a = e i β / 2 {\displaystyle a=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \beta /2}} avec le théorème des résidus ∫ a − 1 ∞ 0 + ∫ 0 a ∞ f ( z ) e − 2 i π z − 1 d z = − 2 i π ∑ n = 0 ∞ Res z = n ( f ( z ) e − 2 i π z − 1 ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) . {\displaystyle \int _{a^{-1}\infty }^{0}+\int _{0}^{a\infty }{\frac {f(z)}{\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi z}-1}}\,\mathrm {d} z=-2\mathrm {i} \pi \sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {Res} _{z=n}\left({\frac {f(z)}{\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi z}-1}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }f(n).}
Alors ∫ a − 1 ∞ 0 f ( z ) e − 2 i π z − 1 d z = − ∫ 0 a − 1 ∞ f ( z ) e − 2 i π z − 1 d z = ∫ 0 a − 1 ∞ f ( z ) e 2 i π z − 1 d z + ∫ 0 a − 1 ∞ f ( z ) d z = ∫ 0 ∞ f ( a − 1 t ) e 2 i π a − 1 t − 1 d ( a − 1 t ) + ∫ 0 ∞ f ( t ) d t . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a^{-1}\infty }^{0}{\frac {f(z)}{\mathrm {e} ^{-2i\pi z}-1}}\,\mathrm {d} z&=-\int _{0}^{a^{-1}\infty }{\frac {f(z)}{\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi z}-1}}\,\mathrm {d} z\\&=\int _{0}^{a^{-1}\infty }{\frac {f(z)}{\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \pi z}-1}}\,\mathrm {d} z+\int _{0}^{a^{-1}\infty }f(z)\,\mathrm {d} z\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(a^{-1}t)}{\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \pi a^{-1}t}-1}}\,\mathrm {d} (a^{-1}t)+\int _{0}^{\infty }f(t)\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}
En utilisant le théorème intégral de Cauchy pour la dernière intégrale ∫ 0 a ∞ f ( z ) e − 2 i π z − 1 d z = ∫ 0 ∞ f ( a t ) e − 2 i π a t − 1 d ( a t ) , {\displaystyle \int _{0}^{a\infty }{\frac {f(z)}{\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi z}-1}}\,\mathrm {d} z=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(at)}{\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi at}-1}}\,\mathrm {d} (at),}
obtenant ainsi ∑ n = 0 ∞ f ( n ) = ∫ 0 ∞ ( f ( t ) + a f ( a t ) e − 2 i π a t − 1 + a − 1 f ( a − 1 t ) e 2 i π a − 1 t − 1 ) d t . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)=\int _{0}^{\infty }\left(f(t)+{\frac {a\,f(at)}{\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi at}-1}}+{\frac {a^{-1}f(a^{-1}t)}{\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \pi a^{-1}t}-1}}\right)\,\mathrm {d} t.}
Cette identité reste vraie par prolongement analytique partout où l'intégrale converge, donc en faisant tendre a → i {\displaystyle a\to \mathrm {i} } on obtient la formule d'Abel-Plana ∑ n = 0 ∞ f ( n ) = ∫ 0 ∞ ( f ( t ) + i f ( i t ) − i f ( − i t ) e 2 π t − 1 ) d t . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)=\int _{0}^{\infty }\left(f(t)+{\frac {\mathrm {i} \,f(\mathrm {i} t)-\mathrm {i} \,f(-\mathrm {i} t)}{\mathrm {e} ^{2\pi t}-1}}\right)\,\mathrm {d} t.}
Le cas ƒ (0) ≠ 0 s'obtient de manière similaire en remplaçant ∫ a − 1 ∞ a ∞ f ( z ) e − 2 i π z − 1 d z {\textstyle \int _{a^{-1}\infty }^{a\infty }{\frac {f(z)}{\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi z}-1}}\,\mathrm {d} z} par deux intégrales le long des mêmes courbes avec un petit écart à gauche et à droite de 0.
En développant sous forme de série entière le terme 1 e 2 π z − 1 {\textstyle {\frac {1}{{\rm {e}}^{2\pi z}-1}}} dans l'intégrande, on peut retrouver la formule d'Euler-Maclaurin .
La formule d'Abel-Plana a été utilisée comme alternative à la formule d'Euler-Maclaurin dans le calcul de séries divergentes , notamment celles apparaissant dans l'électrodynamique quantique [ 3] .
↑ Charles Hermite, « Extrait de quelques lettres de M. Ch. Hermite à M. S. Píncherle », Annali di Matematica Pura ed Applicata , vol. III, no 5, 1901 , p. 57–72 ↑ Gradimir V. Milovanovic, « Summation Formulas of Euler-Maclaurin and Abel-Plana: Old and New Results and Applications » ↑ (en) Aram A. Saharian, « The generalized Abel-Plana formula with applications to Bessel functions and Casimir effect », preprint , 2000 (DOI 10.48550/arXiv.0708.1187 ) N. H. Abel , Solution de quelques problèmes à l'aide d'intégrales définies , 1823 (en) P. L. Butzer , P. J. S. G. Ferreira , G. Schmeisser et R. L. Stens , « The summation formulae of Euler–Maclaurin, Abel–Plana, Poisson, and their interconnections with the approximate sampling formula of signal analysis », Results in Mathematics , vol. 59, no 3, 2011 , p. 359–400 (ISSN 1422-6383 , DOI 10.1007/s00025-010-0083-8 , MR 2793463 , S2CID 54634413 ) (en) Frank William John Olver , Asymptotics and special functions , Wellesley, MA, A K Peters Ltd., coll. « AKP Classics », 1997 (1re éd. 1974) (ISBN 978-1-56881-069-0 , MR 1429619 ) G. A. A. Plana , « Sur une nouvelle expression analytique des nombres Bernoulliens, propre à exprimer en termes finis la formule générale pour la sommation des suites », Mem. Accad. Sci. Torino , vol. 25, 1820 , p. 403–418 (en) Jonathan Dowling, « The Mathematics of the Casimir effect », février 1987