Inégalité de Bonse — Wikipédia

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En théorie des nombres, l'inégalité de Bonse, du nom de H. Bonse^[1], permet une comparaison entre un nombre primoriel et le plus petit nombre premier qui ne figure pas dans sa décomposition.

Elle déclare que si p₁, ..., p_n, p_n+1 sont les n + 1 plus petits nombres premiers et n ≥ 4, alors

${\displaystyle p_{n}\#=p_{1}\cdots p_{n}>p_{n+1}^{2}}$ ou ${\displaystyle p_{n+1}<{\sqrt {p_{n}\#}}}$.

Elle est une conséquence facile du postulat de Bertrand : ${\displaystyle p_{n+1}<2p_{n}}$ ; en effet ${\displaystyle p_{n+1}^{2}<4p_{n}^{2}<8p_{n-1}p_{n}<2\times 3\times 5\times p_{n-1}p_{n}\leqslant p_{1}p_{2}...p_{n}}$ pour ${\displaystyle n\geqslant 5}$, le cas ${\displaystyle n=4}$ se montrant à la main.

Mais elle possède une démonstration élémentaire directe plus courte que celle du postulat de Bertrand ^[2].

• (en) J. V. Uspensky et M. A. Heaslet, Elementary Number Theory, New York, McGraw-Hill, 1939, p. 87
• (en) Shaohua Zhang, « A new inequality involving primes », 2009 (arXiv 0908.2943)

• Arithmétique et théorie des nombres